Question

✊🏻🎀

数Ⅲ、関数の極限の途中式です！

黄色から黄色とピンクからピンクの部分がわかりません！！
どのように式変形したのでしょうか？？

教えてください🙇‍♀️

lim
x-a
=lim
x-a
sin² x-sin² a
x-a
(sin x-sina) (sin x+sin a)
x-a
x+a
x-a
2 cos
sin
(sin x+sin a)
2
2
=lim
-
x-a
x-a
x-a
x-a
=lim
sin
x
-
2
Σ.cos
a
=2 cos a sin a (=sin 2a).
COS
2
x+a (sin x + sin a)
x+sin

数ⅲ 極限 関数の極限

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

mo1

参考・概略です

●黄色の部分

【和積の公式を用いています】

　sinA－sinB＝2･cos{(A＋B)/2}･sin{(A－B)/2}

で、{A＝x，B＝a}の場合です

●ピンクの部分

①(x－a)/2＝θとすると[x→a…θ→0]

　lim{sinθ/θ}＝1
　θ→0

②x→aで、(x＋a)/2＝2a/2＝a

　cos{(x＋a)/2}＝cosa

③x→aで、sin{x}＝sin{a}

　sin{x}＋sin{a}＝2sin{a}

①②③より、
　与式＝2･cos{a}･sin{a}

✊🏻🎀

納得です！！！ありがとうございます😭

Answer 2

あ

黄色:加法定理を考える
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ・・・①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ・・・②
①-②より
sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ
α+β=xとおき、α-β=aとおくと、
α=(x+a)/2、β=(x-a)/2なので
sin(x)-sin(a)=2cos{(x+a)/2}sin{(x-a)/2}

ピンク:lim(x→a){(x-a)/2}=0であり、
(x-a)/2=bとおくと
元の式のlim(x→a)｛sin((x-a)/2)/(x-a)/2}=lim(b→0)(sinb/b)となる。

ここでlim(x→0)(sinx/x)=1なので、(証明は写真)
元の式は
1×cosa(sina+sina)=2cosasinaとなる。

✊🏻🎀

ありがとうございます！！！