Question

謝謝

数学2B 軌跡の問題です。
(3)で
“ここで⑤よりX=-2+2/1+a^2”
とありますが、なぜそうなるのでしょうか？💦

例題 114 軌跡 〔8〕･･･ 線分の中点の軌跡 (2)・・・(札
円 x2 +y2 = 1 ･･･ ① と直線 αax-y+2a=0 ･･･ ② について
(2) αが (1) で求めた範囲で動くとき, その2交点を結ぶ線分の中点の座
(1)円 ①と直線 ② が異なる2点で交わるとき, αの値の範囲を求めよ。
をαを用いて表せ。
(3)(2)の中点の軌跡を求めよ。
(1) ①と直線 ② が異なる2点で交わる
① ② を連立した2次方程式 (*) の判別式DがD> 0
①の中心と直線②の距離) (①の半径)
どちらで考えるか?
(2)素直に考えると・・・
X =
中点(X,
aX-Y-
したがっ
ゆえに,
(3)5
X=-
よって
↑計算が繁雑
⑥ の
y
2次方程式(*)から2交点の座標を実際に求めて考える。
求めるものの言い換え
思考プロセス
2次方程式(*)の2解をα, βとする
解と係数の関係
中点のx座標
a+β
2
《ReAction 線分の中点の軌跡は,解と係数の関係を利用せよ
解 (1) ①,②より,yを消去して整理すると
⑦を
Y2 =
0
よっ
a
a+β.
ここ
2
④よ
例題113)
軌跡
4
D>0より
3
・④ であるから
√3
例題
(1 + α²)x2 + 4ax + 4a² -1 = 0
...
③
94
① ② は異なる2点で交わるから, ③の判別式をDと
すると
D > 0
D
==
(2a²)² - (1+ a²)(4a²-1) = −3a²+1
-3a²+1>0-6
円 ①の中心と直線 ② の
距離を d,円 ① の半径を
r として,d<r から求
めることもできるが、(2)
で交点の座標を考えるか
ら,③を考える。
Play Back 8 参照
√3
Point
(1)
②
<a<
例題
130
(2) αが(1)で求めた範囲を動くと
き,円 ①と直線②の2交点の
x座標は,xの2次方程式 ③の
2つの実数解である。
3
3
1
<0
+
(3
(2
(X, Y)
1
より
**
④
これらをα, β とすると,解と
係数の関係より
(1)
a<±
としないよう
-2-1a O B
a+B=
4a²
1+ a2
とすると
よって,円 ①と直線 ② の2交点の中点の座標を (X, Y)
la+B=
b
a
に注意する。
■2次方程式
lax+bx+c=0の2つ
の解をα,Bとすると
練習 11
198
laβ=

a+B
2a²
すなわち
X=-
頻出
★★★
X=
2
aX-Y+2a = 0 より
中点 (X, Y)は直線② 上にあるから
1+α²
5
Y = α(X + 2) ... ⑥
よ。
したがって
Y =
2a
1+a2
Y =
座標
ゆえに求める2交点の中点の座標は
2a2
2a
(3) ⑤より
(1+α)X = -2a2
(X+2)a=-X
d
の
を
・求
(2)
か
=d(-
2a2
1+α² +2
a (-2a² + 2 + 2a²
2a
1+a2
X2+Y
1+a2
特講
X = -2 とすると,(左辺) = 0, (右辺)=2となり不適。
よって, X≠-2 であるから
2a2
2a
1+a2
1+a2
4a² (1+a²)
=
=-2X
(1+α²)2
X+2
...⑦
から (X+1)^+Y2 = 1
a² = - X
Y2 = α (X+2)2
2章 8軌跡と領域
⑥ の両辺を2乗すると
を導いてもよい。
⑦を代入すると
Y2 =-
X
X+2
(X+2)2
よって
Y°=-X(X+2) より
(X+1)2 + Y2 =1
X' + 2X + Y2 = 0
・・・8
ここで, 5より
X = -2+
2
1+α²
* 0 ≤ a² < 1
1
であるから
3
<X≤0... 9
4
<1≦1+α°<
2
より
3
⑧ ⑨ より 求める中点の
YA
y=a(x+2)1≧
3
>
4
軌跡は
よって
円 (x+1)2 + y2 =1の
2
32
2
≤2
1+α
1
<x≦0の部分
10
1 x 1-1
2
2
<-2+
≤0
2
1+a2
S
Point 弦 ( 線分) の中点の軌跡を求める手順
① 2つのグラフの式を連立して, 2次方程式をつくる。
②共有点のx座標 α, β 1 の方程式の解
↓
中点をとる
I
0
解と係数の関係の利用
③中点のy座標を X で表す。
Y以外の文字を消去
X,
④α,βが異なる2つの実数解であることから,Xの変域を求める。
114 xy平面上に,円 C:(x-1)+(y+2) = 25 および直線 l: y = 3x+k があ
り、異なる2点で交わっている。
(1)の値の範囲を求めよ。
(2) Cが1から切り取る弦ABの中点Mの座標をkで表せ。
(3)kの値が変化するとき,Mの軌跡を求めよ。
(名城大)
199
p.223 問題114

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

あ

⑤の式から式変形していきます。
X=(-2a²)/(1+a²)=(-2(1+a²)+2)/(1+a²)=-2+(2/1+a²)

謝謝

モヤモヤが解消されました✨
本当にありがとうございます！！！