Question

薯條

求解🥹

題 7. 小明寫了一個程式讓機器人在2x2的棋盤中移動,如圖所示。每執行一次,程式會選擇
「上、下、左、右」中的某一個方向,不同方向被選擇的機率均相等,並指示機器人依
方向移動一格,但若選到的方向會跑出棋盤,則機器人該次會停在原地。每次執行都是
從上次所在位置程式重新選取的方向移動,假設機器人的初始位置在4。令執行程
n次後,機器人停留在A,B,C,D的機率分別為an, b, Ch和d。試選出正確的選項。
(1) b₁ =
1
4
(4) b99 = C99
+】
(2) b₂
1
=-
8
(5) a 100+100>
1
2
o
(3) a2+d2=
3
=-
4
K(3)
【113.學測數

機率

Answer 1

綾

⑴
b1(執行一次時到B的機率)是1/4(右)

⑵
b2組合有：右上、右右、上右、左右
為4/(4*4) = 1/4

⑶
a2組合有：上上、下上、左上、上左、左左、右左
機率6/(4*4) = 3/8
d2組合有：右下、下右
機率2/(4*4) = 1/8
a2 + d2 = 1/2

⑷
因為起始點在A
BC都是與A相鄰的
所以每個bn都會等於cn
透過代入觀察也可得知
bn = cn = 1/4
(只是路徑不同)

⑸
an + dn = 1/2

這題還可以用轉移矩陣的概念來想
移動一次 從「前」到「後」的機率
前 A B C D
後
A 1/2 1/4 1/4 0
B 1/4 1/2 0 1/4
C 1/4 0 1/2 1/4
D 0 1/4 1/4 1/2

然後後面接的是
an
bn
cn
dn
的矩陣
最開始是
1
0
0
0
因為起始點在A