9 (1) 11 の下位3桁を求めよ。
22024249で割った余りを求めよ。
(解説)
(1) 11 (1+10)17
=1+17C ・10+17C2・102+ 17C3・103+ 17 C 10
+ + 1017
=1+17C1 ・10+17C2・102+10%(17C3 + 17C10+
+10
+1014)
ここで, a=17C3 + 17C4 ・ 10 +
+ 1014 とおくとαは自然数で
11' = 1 + 170+ 13600 + 10℃a
=13771+103a
10℃αの下位3桁はすべて0である。
よって, 1117 の下位3桁は 771
(2)20242024=(-1+2025)2024=(-1+9.225)2024
=(-1)2024+2024C1(-1)2023.9・225+2024C2(-1)2022.92.2252 +
+2024 2023(-1)・920232252023+92024.2252024
第2項以降の項はすべて9で割り切れる。
よって, (−1)2024=1であるから, 20242024 を9で割った余りは1である。
別解 9 を法とする合同式で考える。
2024-1 (mod 9) であるから
202420
2024.
-1) 2024 (mod 9)
すなわち 202420241 (mod 9 )
したがって, 202420
12024 を9で割った余りは
1
