Question

ももたん

この最初の部分はどうして与えられた漸化式で
nをn+1と置いているのでしょうか？
どなたかわかる方教えてください！🙇‍♀️

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基本 例題 31
an+1=pan+(nの1次式 )
次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
a1=3, an+1=2an-n
CHART & SOLUTION
漸化式 an+1=pan+(nの1次式) (p1) 出
① 階差数列の利用
●基本 29,30
+
ま
② anti-f(n+1)=p{an-f(n)} と変形
②の変形については右ページのズームUP を参照。
30 SER CIG
83
下の解答は①の方針による解法で,別解は②の方針による解法である。
解答
an+2=2an+1_(n+1)
+1=201
an+2-An+1=2(anti-an)-1
与えられた漸化式で,
n
+ n+1とおく。
bn=anian とおくと+1=26-114
辺々引いて
また
①から
更に
b=az-a1= (2.3-1)-3=2
bn+1-1=2(6-1)
b1-1=1
ゆえに,数列{bm-1}は初項1, 公比2の等比数列となり
6n-1=1・2"-1
すなわち
b=2"-1+1
よって, n≧2 のとき
n-1
an a1+ (2-1+1)=3+1
2"-1-14
+(n-1)
k=1
2-1
=2"-1+n+1
(二十四十・十
HA
SO) (SSR).D
=3であるから,この式は n=1のときにも成り立つ。
したがって an=2" 1+n+1 ... 1+
①
別
話を
←α=2α-1を解くと
α=1
MOITAMMO
inf. 6=2"-1+1 を求め
また後は
an+1=2ann
lanti-an=2"-1+1
から α+1 を消去して
an=2"-1+n+1
と求めてもよい。
← n=1 とすると
S

漸化式 階差数列

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ブドウくん

そう置くとうまく解けるからです。実際にその後引き算をすることで、階差数列に持ち込んでいますよね。この発想が出てこないなら、写真のようにしてよくあるタイプの漸化式に持ちこんでもいいです。この際、αがnを含むので、b(n+1)を作るには調整が必要になります。2a(n)の後ろが-nのような簡単な式じゃない場合は調整するところでミスしやすいので、階差数列に持ち込むテクニックも覚えておきたいです。

ももたん

別パターンまでご丁寧に説明して下さり
ありがとうございます🙇‍♀️
階差数列に持ち込むテクニックもしっかり
覚えておきます！！