Question

rs

3枚目について

x^2ではなくx+2が4の約数として

x+2＝±1,±2,±4

としたら答えが変になりました。このようにしてはいけない理由はありますか？

解答 P.374★★☆ 30分
類題1
f(x)=2+2.2+2とする。 If(n)| と|f(n+1)|がともに素数と
なる整数nをすべて求めよ。
(京大・理系・19)

行
f(x)=x+2x + 2 = x +2(x2 +1)
が整数のとき, 2(x+1) は偶数であることと,との偶奇が一致す
ることから.
である。
が偶数のとき
f(x) | は偶数
が奇数のとき f(x) | は奇数
これより,nn+1は一方が偶数,他方が奇数であるから, \f(n)| と
|f(n+1)|も一方が偶数,他方が奇数となる。よって
「If(n)| と If(n+1)がともに素数となる」 ...... (*)
..(*)
とき, f(n)| |f(n+1)| のいずれかは偶数の素数 すなわち2である。
ここで, f(x) = 2 となるのは,
x'+2x2+2=2 .x(x+2)=0
のときである。 また, f(x)=-2 とすると.
2しかない
...x=0,-2
x3 + 2x +2=-2 ..x(x+2)= -4 ...... ①
となる。が整数のとき,x+2も整数であるから,は4の約数である。
よって,x=±1,±2 であるが,これらはいずれも①を満たさない。ゆえ
に①を満たす整数xは存在しない。
以上より,|f(x)|=2となる整数xは,x=0, -2だけであり、
|f(1)| = |1+ 2 + 2 |
If(0)|
|f(-1)|=|-1+2+2|
f(-2)|
であるから,(*) を満たす n は,
n=0,-1,-2,-3
lf(-3)|=|-27 +18 + 2
=5k
On=0
=2x+
n=-1
=3
On=-2
=②
n=-3
= 7 '
1(0)|=|f(-2)12なので
x=0, -2の前後の
x=1,-1,-3で
|f(1)|,|f(-1)|, lf(-3)|
が素数になるか check

を思い出してもらえば,より,
x2(x+2)=-4
←この形にももっていける
という変形が思いつくのではないでしょうか。 xが整数のとき, x+2も
整数ですから、これよりは4の約数, つまり
x=±1 ±2
とわかります。 (*)の証明は例題でやりましょうね。 また,

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

×××

x+2=±1,±2,±4
x=−6,−4,−3,−1,0,2
となるが、これらはいずれもx²(x+2)=−4を満たさない

同じようにできます。