例題 10 関数とその逆関数のグラフの共有点
思考プロセス
f(x) = √x+1 とするとき, y=f(x)とy=f(x)のグラフの共
のx座標を求めよ。
« ReAction y=f(x) の逆関数は、値域を求めてxについて解け
条件の言い換え
まず,
f(x)と
例題9
y=f(x) とy=f-1 (x) の
グラフの共有点のx座標
方程式 f(x) =f-1(x) の
実数解
←
xの値の範囲を
求める。
(別解) 見方を変える
y=f(x) とy=f-l(x) のグラフは直線 y=x に関して対称
直線 y=x上にある共有点はf(x)=xの実数解
y=√x+1 ... ① の定義域はx≧-1
まず逆関数f(x)を
める。
であり, 値域は y≥ 0
6
y=f(x)
①の両辺を2乗すると
y2=x+1
9
xについて解くと x=y2-18-
1
-1
0
x
xとyを入れかえると, ① の逆関数
は y=f-l(x)=x-1
-1 y=f¹(x)
②
その定義域は
x≧0
PB
1
①と②を連立すると
√x +1 = x2-1
2/2
・③
このとき,x2-10 より
x≦-1, 1≦x …④
√f(x)=g(x)
③ の両辺を2乗すると
x+1 = (x²-1)²
⇔f(x)=1g(1
x4-2x2-x=0 となり
xについて解くと x = -1, 0,
x(x+1)(x2-x-1)=0
1±√5
かつ gx
p. 25 Play Back 1 参
2
y = f(x) と y=f-l(x)の定義域および ④ より 1≦x
(別解)
よって、 求める共有点のx座標は
1+√5
X=
2
y=f(x) と y=f'(x) のグラフ
は直線 y= x に関して対称であ
りこれらのグラフの共有点は,右
の図より直線 y=x上のみにあ
る。よって, 共有点のx座標は
√x+1=x(x>0)
y=f(x)
0
2
-1
| y=f¹(x)
1+√5x
両辺を2乗すると x + 1 = x2 すなわちx-x-1=0
x>0より
1+√5
x=
2
グラフから,明らか
|共有点が直線 y=x
のみ存在するときは、
|線y = √x+Iと
y=xの交点を求めて
い
ただし、一般に共有
直線 y=x上にしかな
とは限らない。
y=√-x+14y
10f(x)=√x+6とする!
info.tan.
y=
