00
出発点
出た
Aに
道大
本 52
421
重要
例題
57 独立な試行の確率の最大
さいころを続けて100
「率は100Cm×
指針
6100
回投げるとき, 1の目がちょうど回 (0≦k≦100) 出る確
であり,この確率が最大になるのはんのときである。
[慶応大
基本49
(ア) 求める確率を する。 1の目が回出るとき, 他の目が100回出る。
(イ) 確率の最大値を直接求めることは難しい。 このようなときは, 隣接する2項
との大小を比較する。 大小の比較をするときは, 差をとることが多い。 し
しかし、確率は負の値をとらないこととCr=-
n!
や階乗が多く出てくることから、比
ph
確率の大小比較
pk+1
Þk
+11k<pk+1 (増加),
P1
ph
r!(n-r)!
を使うため、式の中に累乗
をとり、1との大小を比べるとよい。
Pk+1
Þk
<1>+1 (減少)
比 をとり、1との大小を比べる
さいころを100回投げるとき, 1の目がちょうど回出る
B
確率を とすると
解答
DK = 100 CK ( 12 ) " ( 5 ) "
100-k
75100-k
6
=100CkX
かから
6100
反復試行の確率。
pk+1
100! • 599-
ここで
pk
(k+1)!(99-k)!
×
k! (100-k)!
5100(+1)
100!.5100-k
p+1=100 (+1 X
6100
k!
(100-k)(99-k)!
599-k
100-k
･･･かのんの代わりに
(k+1)k!
(99-k)!
5.5-k5(k+1)
k+1 とおく。
pk+1 1 とすると
100-k
->1
pk
5(k+1)
両辺に 5(k+1) [0] を掛けて
100-k>5(k+1)
95
これを解くと
k<=15.8･･･
6
よって, 0≦k≦15のとき
Dr<Dk+1
Pk+1
< 1 とすると
100-k<5(k+1)
pk
これを解いて
k>
95
=15.8･･･
6
よって、16のとき
DR>pr+1
増加
kは 0≦k≦100 を満たす
整数である。
pkの大きさを棒で表すと
|最大
減少
したがって分かくかく・・・・・・<P15 P16,
Die Bir?.... 100
012
100/2
よって, Dr が最大になるのはk=16のときである。
15
17
16
199
