Question

しん

青チャート　ａと24の最小公倍数が240であるようなaが240となる部分が理解できません。
教えてください

基本 例題 最大公約数 最小公倍数と数の決定 (2)
479
00000
次の(A), (B), (C) を満たす3つの自然数の組 (a, b, c) をすべて求めよ。ただし,
la<b<c とする。
(A) a, b, c の最大公約数は6
(B) bとcの最大公約数は24, 最小公倍数は144
aとbの最小公倍数は 240
(C) a
4章
17
[専修大]
p.476 基本事項 3 基本 110
指針 前ページの基本例題110と同様に, 最大公約数と最小公倍数の性質を利用する。
2つの自然数a,b の最大公約数を g,最小公倍数を1, a=ga', b=gb' とすると
1 a'と'は互いに素
2l=ga'b'
3ab=gl
(A)から, a=6k, b=6l,c=6mとして扱うのは難しい(k,l, mが互いに素である,とは
仮定できないため)。(B) から 6, c, 次に, (C) からαの値を求め, 最後に (A) を満たすものを
解とした方が進めやすい。
このとき,b=246′,c=24c' (b','は互いに素でB'<c) とおける。
これから6', c を求める。
最小公倍数について 246'c'=144
HO
約数と倍数、最大公約数と最小公倍数
解答
(B)の前半の条件から,b=246′,c=24c′ と表される。
ただし, 6', c'は互いに素な自然数でB'<c′
①
(B)の後半の条件から
246′'c'=144 すなわち
b'c' = 6
gbc=
これと ①を満たす 6', ' の組は
(b', c')=(1, 6), (2, 3)
ゆえに (b, c)=(24, 144), (48, 72)
(A)からは2と3を素因数にもつ。
また,(C) において 240-24-3.5
[1]624=23) のとき, αと24の最小公倍数が240 であ
るようなαは a=24.3.5
これは, a<bを満たさない。
[2] 6=48(23) のとき, aと48の最小公倍数が240 であ
るようなαは
a=2・3・5 ただし p = 1,2,3,4
<48 を満たすのはp=1の場合で,このとき
304872 の最大公約数は6, (A) を満たす。
以上から
(a,b,c) = (30,48,72)
a=30
b=246′,c=24c'
最大公約数は6=23
240-24-3.5
[1] 6=23.3
[2] b=24-3
これからαの因数を考え
る。
自然数の組 (a, b, c) をすべて求めよ。 ただし,

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

綾野穂香

素因数ごとに、その素因数をいくつ持っているかに着目します。そのときに、「X と Y の最小公倍数が Z のとき、素因数 p に着目したときに、 X が持つ素因数 p の個数と、Y が持つ素因数 p の個数の大きい方が、Z が持つ素因数 p の個数である」という事実を利用します。この事実を、適当な二つの整数の最小公倍数を計算して、確認してみてください。

[i] まず、素因数 2 に着目します。24 が素因数 2 を 3 個しか持たない一方、240 が素因数 2 を 4 個持つことから、a は素因数 2 を 4 個のみ持たなければいけないことが分かります。
[ii] 次に、素因数 3 に着目します。24 が素因数 3 を 1 個持ち、240 も素因数 3 を 1 個持つことから、a が持つ素因数 3 の個数が 1 を超えなければよいことが分かります。そのため、a が持つ素因数 3 の個数は 0 または 1 です。
[iii] 次に、素因数 5 に着目します。24 が素因数 5 を持たない一方、240 が素因数 5 を 1 個持つことから、a は素因数 5 を 1 個のみ持たなければいけないことが分かります。

[i], [ii], [iii] をまとめると、a は素因数 2 を 4 個持ち、素因数 3 を 0 または 1 個持ち、素因数 5 を 1 個持ちます。問題文の条件 (A) から、a が持つ素因数 3 の個数が 1 個と確定します。よって、a = 2⁴3¹5¹ = 240 となります。

しん

理解できました。ありがとうございます🙇