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已解決

統計検定準1級2021年6月の問6です。
[1]の解説で、1行目から2行目に変形できるのはなぜでしょうか。
直感的には分からなくもないのですが計算過程が知りたいです。

問6 2つのグループからのデータを判別する代表的な方法に,フィッシャーの線形判 別がある。 グループ 1, グループ2の2つのグループから2次元データを収集し たものとする。それぞれの標本サイズを ni, 72 とし, データを { 1,T2,...,Zn,}, ny 1. {¥1,92,.., Yng} とおく。 また, それぞれのグループの平均ベクトルを=- n1 8 y=- 722 1 n 72 i=1 722 i=1 とおく。 ただし,n=n+n2 である。 Yi とおく。 さらに, データ全体を {Z1,Z2,..., Zn}, 平均ベクトルをえ= とおき,さらに 〔1〕 各グループの分散共分散行列 S1, S2 とデータ全体の分散共分散行列 S をそれ ぞれ S1 = S2= n1 1 n1 n2 i=1 722 i=1 n (x₁ - x)(x₁ - x) ¹ i=1 (Yi — Y) (Yi – ÿ) - S= 1/2 (2₁-2) (2₁ - 2) T i=1 Sw=115₁ +25₂ n n n2 n1 - SB = 1/¹² ( x − z ) ( x − z ) ¹ + 2/2² (ÿ – z) (ÿ – z)™ n n Dis ① つねにS> Sw+SB が成り立つ。 ② つねにS=Sw + SB が成り立つ。 ③ つねに S < Sw + SB が成り立つ。 ④ 上記に正しいものは一つもない。 と定義する。ここで「は転置を表すとする。 3つの行列 S, Sw, SB の関係につい て、次の①~④のうちから最も適切なものを一つ選べ。 ただし, P > Q は行列 P-Q の固有値がすべて正であることを意味する。 10
正解 [3] 9 推定量の中では最小二乗推定量が最も高い決定係数を与えるので、①と③と は適切であり、 不適切である。 図1より決定係数は高いことがわかるので, 不適切である。 よって、正解は 問6 〔1〕 10 n Σ i=1 1 S == n 2) 11 (Zi - 1 である。 ・え) (zi -え) 「は N1 n2 ½ {[(xi − 2)(xi − 3)¹ + Σ(Yi − 2) (Yi − 2)¹ } - i=1 i=1 n n1 n1 {Σ(x₁ − x)(x₂ − ñ)¹ + Σ(x − z) (x − z) ¹ i=1 i=1 n2 n2 + Σ(Yi − Y) (Yi − ÿ)T + Σ(ÿ − 2)(ÿ − 2)¹} - i=1 i=1 と展開され,これは Sw + SB である。 よって、正解は②である。 フィッシャーの線形判別では w SBW w Sww つまり, 固有値を計算する行列は 1 3 5% - ( ) ( ) ( ) SW-SB = 8 正解 を最大化するベクトルが用いられ である。そしてその (0 でない) 固有値1に対する固有ベクトルは | (1) 線形判別に用いられる。 よって、正解は②である。 正解 であり、そ

解答

✨ 最佳解答 ✨

きょん様
以下、「xバー」等を、記号「Mx」等で代替します。(xのMean)
1行目の第1項について
Σ(i=1~n1) (xi-Mz)²
=Σ(i=1~n1) {(xi-Mx)+(Mx-Mz)}²
=Σ(i=1~n1) {(xi-Mx)²+2(xi-Mx)(Mx-Mz)+(Mx-Mz)²} ←2乗の展開
=Σ(i=1~n1) {(xi-Mx)²+(Mx-Mz)²}+2(Mx-Mz)Σ(i=1~n1) (xi-Mx)
=Σ(i=1~n1) {(xi-Mx)²+(Mx-Mz)²}+0 ←xの偏差の総和は0より
=Σ(i=1~n1) (xi-Mx)²+Σ(i=1~n1) (Mx-Mz)²
となります。
第2項も同様です。

きょん

Takeさん、こちらご解答いただきありがとうございます。
質問が紛らわしくて申し訳ないのですが、1行目はTakeさんが言及してくださっている行ではなく、その上のS=から始まる式を指しておりました。Σ(zi-Mz)(zi-Mz)からどう展開したらΣ(xi-Mz)(xi-Mz)+Σ(yi-Mz)(yi-Mz)になるのかを知りたかった次第です。
もしご存知でしたら教示いただけますと幸いです。

Take

きょん様
こちらこそ失礼しました。
Σ(i=1~n) (zi-Mz)²
=(z1-Mz)²+(z2-Mz)²+…+(zn-Mz)²
={(x1-Mz)²+(x2-Mz)²+…+(xn₁-Mz)²}+{(y1-Mz)²+(y2-Mz)²+…+(yn₂-Mz)²} …①
=Σ(i=1~n₁) (xi-Mz)²+Σ(i=1~n₂) (yi-Mz)²
になります。①が成り立つ理由は2つの集合{z1,z2,…,zn}、{x1,x2,…,xn₁,y1,y2,…,yn₂}について
{z1,z2,…,zn}={x1,x2,…,xn₁,y1,y2,…,yn₂} ←つまり、zi
だからです。

Take

きょん様
おわりの2行目のつづきです。
{z1,z2,…,zn}={x1,x2,…,xn₁,y1,y2,…,yn₂} ←つまり、zi を適当に並べ替えると x1,x2,…,xn₁,y1,y2,…,yn₂ の順にできる
だからです。

きょん

Takeさん、ありがとうございます。
解説いただき納得しました。
問題文のn=n1+n2の部分から曲解していました。(zはx, yを加算したものと誤った解釈をしていました)
zにはx, yのいずれかのデータが対応していて、zのデータ数がx, yのデータ数の合計になっているということですね。
{z1,z2,…,zn}={x1,x2,…,xn₁,y1,y2,…,yn₂}
↑このように記載いただいて分かりやすかったです。
どうもありがとうございました!

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