数学　整数の性質下の写真の問題（1）についてです

Mathematics

高中

已解決

1年以上以前

奏音

数学　整数の性質

下の写真の問題（1）についてです
解答に、「この不等式と89が素数であることより、」とあるのですが（赤マーカー部分）、
素数でなかったらどうなるんですか？解けないんですか？

_整数の性質 ~不定方程式の整数解~ (1) 到達問題の解説 11_1 n m (2) 整数a,bが2a+36=42 を満たすとき, ab の最大値は[ア･かつmon を満たす自然数m,n を求めよ。 89 到達問題の (1) もアプローチ問題と同様に、不定方程式の整数解を求める問題だ。 (2) は積の最大値が問われているが､まず不定方程式の解を求める必要がある。「アプローチ問題」で学んだ解法 STEP を踏まえながら考えていこう。 →到達問題をもう一度見てみよう ← 1 方程式を整数の積の形に変形し、約数・倍数に注目する (1) の方程式 1 1 1 m n 89 全く違って見えるが,積の形が目標であるから, まず分母を払ってみよう。両辺に89mn をかけて整理すると mn-89m-89n=0 となり、アプローチ問題 (1) と同タイプであることがわかるあとは積の形を目標に変形していけばよい。 (2) はアプローチ問題 (2) と同様に,具体的な整数解の1つを求めて変形してもよいが, 42が3の倍数であるため, 36を移項し3でくくり 2a=3(14-b) G とする方が手間がかからない。結果的にこれは、具体的な整数解の1つ (a,b)=(0.14) を用いた変形となっている【解答】 (1) m は,アプローチ問題 (1) の方程式とは 2 不等式により範囲を絞り, 考察対象を減らす (1) は, 方程式を積の形に直した後、mとnが自然数すなわち正の整数であることと不等式 < n を利用すれば積の組合せを絞ることができる。 1 1 = 12 89 り mn-89m-89n=0 m(n–89)–89n=0 m(n-89)-89(n-89+89)=0 (m-89)(n-89)=892 + である。到達問題の解答 ('10 早稲田大・商) 具体的な整数解の1つとして (a,b)=(6.10) を用いると 2(a-6)=3(10-b) gum となる。 1 方程式を整数の積の形に変形し、約数・倍数に注目する H 89 は素数なので、この式を満たす 8989の組合せのすべては、 (1, 892), (89, 89), (89², 1 (-1, -89), (-89, -89) (-89², -1) である。「m, nはくを満たすぎという条件から1個に絞らておこう。難関大) 入試 (2) 入試 m,nはm<nを満たす自然数であるから, -89<m-89<n-89 この不等式と89 が素数であることより, (m-89, n-89)=(1, 89²) よって, m=90, n=8010 ...... 2a+36=42 変形して (答) 2a3(14-b) ..... ① 2と3は互いに素であるから αは3の倍数である。よって, 整数kを用いて α=3k とおくことができ, このとき ①より, 2.3k=3(14-b) すなわち b=-2k+14 したがって, ab=3k(-2k+14) =-6k2+42k =-6(x-7)² + ¹47 んは整数であるから, abが最大になるのはk=3,4のときであり、求める最大値は, ワンランク UP 演習取り組んでみて、難しかったら、講義に戻って考えよう。 -6.3°+42・3=72 ······ (答) 1 (1) pを素数とする。 x,yに関する方程式 + I = y P 2 不等式により範囲を絞り, 考察対象を減らす 2次関数の最大最小は平方完成して考える。 kは整数であり、2/7/27 とは! abt 72 60 1 方程式を整数の積の形に変形し、約数・倍数に注目するならないことに注意して、前後の整! 数3,4について調べる。 1 は整数なので, ab は下の図のよう! にとびとびの値をとる。 O を満たす正の整数の組(x,y) をすべて求めよ。 ('09 お茶の水女子大理) (2) 7で割ると2余り, 11で割ると3余るような300 以下の自然数をすべて求めよ。 ('11 山形大工) Q 入試につながるヒント7で割ると2余る数と 11 で割ると余る数は、整数を用いてどのように表されるだろうか。 UPの得点 /20点別冊p.12の解答・解説で答え合わせをしよう! 29

解答

✨ 最佳解答 ✨

塾講師「たおたん先生」

1年以上以前

①「A×B=素数」の場合　(A.Bは自然数とする)
例えば A×B=3
(A.B)=(1.3)、(3.1) の2択
もしA<Bと分かっていれば(A.B)=(1.3)の1択

②「A×B=素数^2」の場合　(A.Bは自然数とする)
例えば A×B=3^2
(A.B)=(1.3^2)、(3.3)、(3^2.1) の3択
もしA<Bと分かっていれば(A.B)=(1.3^2)の1択

③「A×B=合成数」の場合　(A.Bは自然数とする)
例えば A×B=6
(A.B)=(1.6)、(2.3) 、(3.2)、(6.1)の4択
もしA<Bと分かっていれば(A.B)=(1.6)、(2.3)の2択
＊合成数が6ではなく約数をもっと多く持つ合成数ならば(A.B)のペアはもっと多くなります。

④「A×B=合成数^2」の場合　(A.Bは自然数とする)
例えば A×B=6^2
(A.B)=(1.36)、(2.18)、(3.12)、、、 9択
もしA<Bと分かっていれば(A.B)=(1.36)、(2.18)、(3.12)、(4.9)の4択

よって(A.B)の組合せは
素数が絡むパターン(①②)だと絞り込みが楽になり　
素数が絡まないパターン(③④)だと絞り込みが大変になります。

今回の問題は②のパターンで
Aがm-89、Bがn-89、素数が89でA<Bと分かっている状態なので解答解説の通り
(m-89.n-89)=(1.89^2)と1択まで絞り込めます。