文字係数の2次不等式の解
重要 例題 103
次のxについての不等式を解け。ただし,aは定数とする。
x²-(a²+a)x+a³ ≤0
CHART & SOLUTION
係数に文字を含む2次不等式
2次方程式の解の大小関係に注意して場合分け
左辺は因数分解できて
(x-a)(x-a²) ≤0
α<βのとき (x-a)(x-β)≦a≦x≦
ここではα,βがともにαの式で表されるから, a と ²との大小関係で場合が分かれる。
解答
不等式から
x²-(a²+a)x+a³≤0
したがって (x-a)(x-a²) ≤0
④ [1] a <a のとき
a²-a> 0 から a(a-1)>02
よって
a<0, 1<a
このとき, ①の解は a≤x≤a²
83412751-
① [2] a=d² のとき
a²-a=05
よって
a=0のとき
α=1のとき
2
a(a-1)=0
a=0,1
①はなり x=0
① は (x-1)^2≦0 となり
④ [3] a>α² のとき
a²-a<0から
よって
このとき、①の解は a² ≤x≤a
以上から
a(a-1) <0
0<a<1
a²≤x≤a
0<a<1のとき
a=0 のとき
a=1のとき
a < 0, 1 <a のとき a≦x≦a²
x=0
x=1
●基本 31,87,88C 重要 105
x=1
← たすき掛けを利用すると
1
→ -
X=a²-a²
1
a³ - (a² + a)
αの値を ① に代入。
(x-2 0 を満たす解
はx=α のみ。
0≦x≧0 は x=0,
1≦x≦1 は x=1
を表すから、 解は
0≦a≦1のとき
a²≤x≤a
a < 0, 1 <a のとき
amxma²
と書いてもよい。
167
3章
11
2次不等式
