Question

yyy

青い()のところを係数を比較して答えを出したのですが、このやり方はだめですか？記述の場合減点などされますか？

基本例題156 第2次導関数と等式
(1) y=log (1+cosx) のとき, 等式 y" +2e-2=0 を証明せよ。自
(2) y=e2sinx に対して, y"=ay + by となるような定数a, bの値を求めよ。
[(1) 信州大, (2) 駒澤大]
基本155
指針 第2次導関数 y” を求めるには,まず導関数yを求める。 また, (1), (2) の等式はともに
の恒等式である。
(1)y" を求めて証明したい式の左辺に代入する。
また,e-lをxで表すには、等式 elogp=を利用する。
(2) y', y” を求めて与式に代入し, 数値代入法を用いる
(1) y=2log(1+cosx) であるから
(1+cos x)'
1+cosx
また,
ゆえに
y'=2.
y"=-=
ゆえに
よって2
2{cos x(1+cos x)-sinx(-sinx)}
t0) %5
2(1+cosx)
(1+cos x)²
2e-2²²=22
ež
y=log(1+cosx) であるから=1+cosx
2sinx
1+cos x
1+cos x
(1+cosx)
Snie$=$200x630
2
1+cosx R S CHI CV Quasinx+cosx=1(g)
=e2x(3sinx+4cosx)
2
1+cos x
(②2)=2e²sinx+e2xcosx=e2x(2sinx+cosx)
y"=2e²x (2 sinx+cosx)+e²x (2 cosx-sinx)
①
これを解いて
2
1+cos x
-+ =0+x8}nie!!
=e2x{(a+26)sinx+bcosx}
y'=ay+by' に ①, ② を代入して料 ①
0
e2x
③はxの恒等式であるから, x=0を代入して
I
ay+by'=ae²x sinx+be²x (2 sinx+cosx)) =" (²x\\\
(3sinx+4cosx)=e2x{(a+26)sinx+bcosx} ...
4=b
log M = klogM
なお、-1≦cosx≦1と
(真数) > 0 から
1+cosx>0
π
また、x=27072 を代入して 3e"=e" (a+26)
a+20)
lelogp=pを利用すると
elog(1+cosx)=1+cosx
(e) (2 sinx+cos x)
|_ +e2(2sinx+cosx) [
[参考] (2) のy"=ay + by' の
ように、未知の関数の導関数
を含む等式を微分方程式と
いう(詳しくは p. 473 参照 )。
③が恒等式 ③にx=0,
π を代入しても成り立つ。
右辺==-5,6=4
このとき。
⑩③の右辺)=e^x {(-5+2・4)sinx+4cosx)=(③の左辺逆の確認。
したがって
a=-5, b=4
267
- Jel
"ry'=0を証明せよ。
00
5

2X
(2) ý 2ẻ sau xe cosx
3x (25inx + cosx)
20²x (25 iux+cosx)
+ e²x (200sx-sinx)
e²x (3 siux + 4 cosx) 1₁.
vils, ay+by!
y
=
= ae²x sinx+ be²x (2 słux + cosx)
= e²x [(a+2b) sinx + bcosx } !!!
y=ay+byに①.②を代入して、
e²x ( 3 siux+ 4c0sx) = e²x{ (at ²b) sinx+ bcos)
③はxの恒等式であるから、
係数を比較して
a+2b² = 3
b = 4
5₁² a=-5₁ b=4
"G
3

第2次導関数

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

たかぴろ

やり方的には大丈夫だとは思いますが、係数を比較してaとbの値を求める時は恒等式“ならば”という必要条件に過ぎないから、チャートの解説のように「逆に」を求めて本当に恒等式がa,bの値を代入して成立するのかという、求めたa,bの値が恒等式を成り立たせる必要十分であることは述べた方が良いです！

yyy

ありがとうございます！