Question

朝ごパン

質問です
⑶の問題が解説見てもよく分からないので分かる方解説お願いします！

2次関数, 三角関数 指数, 対数を中心にして
本
32 三角方程式の解の個数
f(0)=2sin20+4sin0+3cos 20 (0≦<2π) について,次の問に答えよ.
(1) x=0 とするとき, f(0) をxの式で表せ.
(2) f(0) の最大値､最小値を求めよ.また, そのときの日の値をすべて求めよ。
(3)方程式 f(0)=α の相異なる解が4個であるような実数α の範囲を求め
(岩手)
(解答)
(1)
.
TOSSERRAOLI
f(0)=2sin20+4sin0+3cos 20もさ
=2sin²0+4sin 0+3(1-2sin²0) ) (SD)=7 (1
30,5 (3)
=-4sin20+4sin0+3
x = sin0 とすると,
f(0)=-4x2+4x+3
(2) g(x)=-4x2+4x+3とすると,
\2
96x)=-4(x - 2)² +4
...1
x=sin0 (0≦02m) より, -1≦x≦1 である.
f(0) の最大値、最小値は, -1≦x≦1における
g(x) の最大値、最小値を求めればよい.
1≦x≦1において①のグラフは図のようになる.
sin0=-1より, 0=-
(3)との対応関係を考える.
-1<x<1ならば2つの
3
2π
以上より,
最大値40=4-
A
x=sin0 (002m) であるから、
1つのxの値に対して、
x=1
グラフより,g(x)はx=-
)はx=1/12の
一のときに最大値4をとり、そのときのは,
sin0 = 1/28より,0=17/08 5
また,g(x)はx=-1のときに最小値-5をとり,そのときの0は,
x=-1
ならば1つの
(6 BOJ==)
1000 (0 = 1/2)
のとき、最小値-50=-
ならば1つの00=
Isti
0 0 (0 = 3/1 7
S+IVE
1
x
0
-1
π
0₁7/2
4
3.
011
2
y=-4x2+4x+3
(0-012/2のとき)
-5
0₂ T
***ATSOTS
@ 48 * * X *
2π
x = sin0
-y=a
-1<x<1である1つのxに対して,
2010 の2つの0が存在する
0
が対
よ
を求
を考
<補
f
解
まのがるるといとい
x
まで
の相
がら
x
か

A.
うよ.
求め
大)
y=a
0
次関数 三角関数, 指数, 対数を中心にして
が対応する.
OS
[衣
よって, 「f(0) =α の相異なる解が4個存在するようなaの範囲」は,
g(x)=a を満たすxが-1<x<1に2つ存在するようなaの範囲
を求めればよい. (*)は,
y=g(x)とy=a のグラフが-1<x<1において2つの交点をもつの範囲
を考えればよい。したがって、求めるの範囲は,前ページのy=g(x)のグラフ
3<a<4
を使って考える
<補足>
f(0)=a(0≦0<2π)を満たす0の個数はαの値に応じて,次のように変化する.
(ア)a=-5のとき
x=-1のみが g(x)=a の解であり, f(0)=a の解は1個
(イ) -5<a<3, a=4のとき
g(x)=a の解として-1<x<1であるxが1つあり, f(0) =αの解は2個
0-til
(ウ) α=3のとき
=
1=12/3のみ
文系
数学の必勝ポイント
x=0, 1がg(x)=αの解であり, f(0)=αの解は2+1=3個 0 0=0,π, TC
2
(エ) 3<a<4のとき
の3個
g(x)=αの解として-1<x<1であるxが2つあり, f(0) =α の解は2+2=4個
(*)
解説講義
x = sin0 と置きかえて, f(0) をxで表してxの2次関数を考えよ、という誘導であり, (2)
までは基本問題である. 入試では, (3)の出来が合否を分けることになる. 本問では, 「f(0)=a
の相異なる解が4個」 となる状況を問われているから,xの2次関数になっているのに、解
が4個とはどういうことだろう?」 と注意深く考えた人が多いと思うが, f(0) =α の相異な
る解が2個となるαの範囲」を問われたときに、グラフに注目して3<a<4とウッカリ答え
る人が非常に多い. 3<a<4のときは,g(x)=αとなるxの個数が2個であり,それがf(0) = a
となる0の個数と一致しているわけではない。つまり, x0は1対1の対応関係になって
いないことに気がつかないといけない。 実際に, (2)ではx=12 という1つのxから=1, 6T
という2つのが導かれている。 -1<x<1のときには、xと0は1対2の対応関係になって
いるのである.g(x)=a を満たすxの値を手掛かりにして, f(0)=a を満たす 0 を考えるので,
x と の対応関係を注意深くチェックしておかないといけない .
1
5
22 でも置きかえについての注意を書いておいたが,置きかえをしたときには,「何
か見落としはないか?」とチェックするくらいの気持ちで慎重に処理しよう
21
置きかえたときの注意
① 新しく登場した文字のとり得る値の範囲
② 元の文字と新しい文字との対応関係
に特に注意する

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

sin theta

三角関数は指数・対数関数と違い値が定まるとそれを与えるθの値が1つに決まらないときがあるということです。

朝ごパン

ありがとうございます！