Question

キト

数学Aの青チャート97について質問です。初見でも模範解答のように着目できるような思考過程を教えて欲しいです。
写真にあげているところまでは考えつきました。

97 万べきの定理と等式の証明
00000
円に内接する四角形ABCDの辺AB, CD の延長の交点をE, 辺BC, ADの延
長の交点をFとする。 E, F からこの門に引いた接線の接点をそれぞれS, Tと
基本
するとき、等式 ES"+FT-EF" が成り立つことを証明せよ。
指針
解答
左辺のES', FT は､方べきの定理 ESEC･ED,
FT-FA・FDに現れる。 しかし,右辺のEF" について
は同じようにはいかないし、 三平方の定理も使えない。
そこで,EとFが関係した円を新たにさがしてみよう。
まず、Eが関係した円として, ADE の外接円が考え
られる。
そして、この円とEF の交点をG とすると､四角形
DCFG も円に内接することが示される。
よって、右図の赤い2円に関し方べきの定理が使える。
CHART 1点から 接線と割線で方べきの定理
方べきの定理から
ES"=EC・ED
FT"=FA·FD
△ADE の外接円とEF の交点を
G とすると
∠EGD=∠BAD
また、四角形 ABCD は円に内接
するから
<DCF=∠BAD
①⑤ から
②⑥ から
したがって
4
∠EGD=∠DCF
ゆえに、四角形 DCFG も円に内接する。
よって方べきの定理から
B
EC・ED=EF・EG ...... ⑤,
FA・FD=FE・FG・･・･・・
ES2=EF･EG
FT"=FE･FG
ES2+FT"=EF (EG+FG) = EF2
が成り立つことを証明せよ。
習 右の図のように, AB を直径とする円の一方の半円上に
④97点Cをとり、 他の半円上に点Dをとる。 直線AC, BD の
交点をPとするとき,等式
AC・AP-BD・BP=AB2
<1点から接線と割線で、
方べきの定理
p.496 EX61
円に内接する四角形の内
角は、その対角の外角に
等しい。
1つの内角が、その対角
の外角に等しい。
<EG+FG=EF
D
B
491
3
A
円と直線、2つの円の位置関係
紹介
の実
まで
カ
な
に
2
|

97
B
9
D
ES² = FA· EB
EDEC
=
FT² = FD FA
= FC FB

青チャート 数学a

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

哲治

まず方べきの定理関連で大事なのは
方べきの定理の3パターンと方べきの定理の逆
をしっかり使えるようにすること。
後は方べきの定理を使うのだからどこかに円を作れないかという発想をするわけですね。
それがテキストでは２つの三角形の外接円を作ってるわけですね。

キト

なるほど…。ありがとうございます。
確かに円を作るとなるとEFを通るもの以外は難しそうですね。総和いっても、直角もないのに円を作ってしまうのは鮮やかすぎて、次に同じようなことができるのかと言うとやっぱり難しいかもしれませんが頑張ってみます。