Question

Swallow

大学数学、線形代数の分野です。
問題(1)、(2)どちらもわかりません。
教えていただけないでしょうか🙇‍♀️
よろしくお願いします。

(1)f(x) = 2x は線形であるが、f(x) = 2x2は線形ではない。このことを、線形の定
義である、f(ax+bx2)=af(x)) + bf (x2)を計算することにより、 確かめよ。 また、
X1, X2, a, bに具体的な実数を代入してみて、 確かめよ。
(2) ある雑誌のアンケートは前半5問、 後半5問の計10項目からなる。各質問には、
「めったにない」 「ときどき」 「たいてい」の選択肢から回答する。 回答は10次
元ベクトルαで記録され、その値αは選択肢の順にa,;=1,2,3である。記入された
アンケートの集計スコアを次のように計算する。 前半の質問1~5では、 「ときど
き」の回答には1点、 「たいてい」には2点をつけ、 後半の質問6~10では2点と4
点をつける。 「めったにない」 は、前後半ともに0点をつける。 集計スコアsを
アフィン関数 s=wa + vとして表せ。 ここで、 wは10次元ベクトル、 vはスカ
ラーである。

線形代数

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Take

Swallowさま
（１）簡単のためx1=x,x2=yとする。
　　f(x)=2xについて、
　　　f(ax+by)=2(ax+by)=2ax+2by　…①
　　　af(x)+bf(y)=2ax+2by　…②
　　　よって、恒等的に①=②であるからf(x)=2xは線形。
　　f(x)=2x²について、
　　　f(ax+by)=2(ax+by)²=2a²x²+4abxy+2b²y²　…①
　　　af(x)+bf(y)=2ax²+2by²　…②
　　　恒等的に①=②とはいえない。たとえば、x=y=a=b=1のとき
　　　①=8,②=4であるから①≠②。よって、f(x)=2x²は線形ではない。
（２）前半の回答と得点を対応させるf(1)=0,f(2)=1,f(3)=2となる関数としてf(x)=x-1がある。
　　　後半の回答と得点を対応させるg(1)=0,g(2)=2,g(3)=4となる関数としてg(x)=2(x-1)=2x-2がある。
　　　よって、
　　　　スコアs=(a1-1)+(a2-1)+…+(a5-1)+(2a6-2)+(2a7-2)+…+(2a10-2)
　　　　　　　 =(a1+a2+…+a5+2a6+2a7+…+2a10)-15
　　　　　　　 =(1,1,1,1,1,2,2,2,2,2)t(a1,a2,…,a10)-15
つまり、w=(1,1,1,1,1,2,2,2,2,2),v=-15にすればよい。■

Swallow

丁寧な解答をありがとうございます！
とても助かります🙇‍♀️