43の考え方で
s, f(s))で接する
で接するとして
致する。
=(x-8)(x-1)
下の別 は
え方によるものである。
▼st を確認する。
方程式は
x-31¹+81³.
めの条件は、 方程
である。
をもてばよい。
-21-2)
て、 sキナである。
0000
演習 例題223 3本の接線が引けるための条件 (1)
|曲線C:y=x+3x2+xと点A(1, α) がある。 Aを通ってCに3本の接線が引
けるとき,定数aの値の範囲を求めよ。
1
本〔類 北海道教育大]
基本 218
-1)-8=-8
から
パー
芹求めよ。
「指針3次関数のグラフでは、接点が異なると接線が異なる(下の検討 参照) から,
曲線CA (1,α) を通る3本の接線が引ける
・曲線C上の点 (t + 31+t) における接線が A を通るようなtの値が3つある
そこで, 曲線C上の点(t,
における接線の方程式を求め,これが点 (1, a) を
+362+t)
通ることから, f(t) =αの形の等式を導く。
。 *********
CHART 3次曲線 接点 [接線] 別なら 接線[接点] も別
解答
y=3x2+6x+1であるから, 曲線C上の点(t, ピ+3t2+t) に
おける接線の方程式はy-(t+3t+t)=(3t2+6t+1)(x-t)
y=(3t2+6t+1)x-2t-3t2
すなわち
この接線が点 (1,α)を通るとすると -2°+6t+1=α ① 定数 αを分離。
f(t)=-2t+6t+1 とすると
Fit Maasto
f'(t)=-6t2+6=-6(t+1)(t-1)
f'(t)=0 とすると
f(t) の増減表は次のようになる。
t=±1 (
t
f'(t)
f(t)
-1
1
0 + 0
極小 極大
7
-3
5
...
-
5
1
-1/0;
1
y=a
t
|y=f(t)
3次関数のグラフでは、 接点が異なると接線が異なるから,
の3次方程式 ①が異なる3個の実数解をもつとき, 点Aか
ら曲線Cに3本の接線が引ける。
したがって、曲線 y=f(t) と直線y=α が異なる3点で交わる
条件を求めて
-3<a<5
<f(-1)=2-6+1=-3,
f(1)=-2+6+1=5
< ① の実数解は曲線
y=f(t) と直線y=α との
共有点の座標。
検討 3次関数のグラフにおける, 接点と接線の関係
3次関数y=g(x)のグラフに直線y=mx+nがx=α,β (αキβ)で接すると仮定すると
g(x)−(mx+n)=k(x-a)²(x−ß)² (k=0)
←接点⇔重解
の形の等式が成り立つはずである。ところが、この左辺は3次式,右辺は4次式であり矛盾して
いる。よって,3次関数のグラフでは, 接点が異なると接線も異なる。
これに対して, 例えば4次関数のグラフでは, 異なる2点で接する直線がありうる ( 前ページの
演習例題222 参照)。 したがって,上の解答の
の断り書きは重要である。
練習点A(0, α) から曲線 C:y=x-9x2+15x-7に3本の接線が引けるとき,定数
73sceto()
223
aの値の範囲を求めよ。
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6章
3 関連発展問題
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