364 第6章 微分法
Think
例題 186 関数の決定
の多項式f(x)の最高次の項の係数は1で,
(x-1)f'(x)=2f(x) +81 (S-PR (0)\(\\\
がつねに成り立つ。 このとき f(x) を求めよ. (南山大)
[考え方 まず、f(x) の最高次の項のみを考える.
また、「つねに成り立つ」とは 「恒等式」ということである。
mimi
解答 f(x) は定数関数にならないから, 最高次の項をx" (nは
n-1
自然数)とおくと、 f'(x) の最高次の項は,
1
したがって, 与式の左辺の最高次の項は,
右辺の最高次の項は、 2x"
与式は恒等式であるから, ①,②より, nx"=2x" も恒等
式となる.
よって,
n=2
STARS
これより, f(x)は2次式なので, f(x)=x2+ax+b とお
くと,f'(x)=2x+a
与式に代入すると
(x-1)(2x+a)=2(x2+ax+b) +8
(a+2)x+(a +2b+8)=0
③がxについての恒等式であるから、
=a+2=0, a +2b +8=0
(公簿) したがって
Focus (
RSD
a=-2,b=-3
よって, f(x)=x²-2x-3
a=0+0-01-0-8=(0)
88-0+ (S-)-01-(8-)-8=(3-
nxn-
N
nxn
.....
練習 (1) x 多項式f(r)
|100
の
3+601-58-
+56=0+501-
*****
f(x)=a,x"+......+ax+a (a,0)とおくと,
f'(x)=na"x"'++αとなる.
定数関数なら
(f'(x)=0 より
f(x) = -4 となるか
これは意に反する
最高次の項の係数に
1
f(x)をn次式と
ると,f'(x) は
(n-1) 次式
f(x)が次式(n≧1) ⇒f'(x) は (n-1) 次式
f(x) をn次式として, 最高次の項からnの値を決定する
③がつねに成り立っ
どんなの値に
ついても③が疲
り立つ
注》例題186 において, f(x) が条件を満たす (最高次の項の係数が1の) 定数関数,
つまり, f(x)=1のとき, 与式は, (左辺)=(x-1)0=0, (右辺)=2·1+8=10
となり不適よって, f(x) は条件を満たす定数関数にならない.
f(x) は定数関数ではないので、
係数比較は必要十分
性をもつ.
JCB) (WY WEST
また、例題 186 では 「最高次の項の係数は1」 とあるので「x"」 とおいたが、係数がわ
Loor
からないときは上のように 「a,x"」 とおくとよい.
例
