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18 約数と倍数,最大公約数と最小公倍数
CATE
基本事項
1 約数 倍数
き,bはaの 約数 であるといい, αは6の倍数であるという。
② 倍数の判定法
2の倍数
5の倍数
3の倍数
③ 素数と素因数分解
2つの整数α, bについて, ある整数kを用いて, a=bk と表されると
一の位が偶数 ( 0 2, 4, 6, 8 のいずれか)
一の位が05 のいずれか
4の倍数
9の倍数
各位の数の和が3の倍数
下2桁が4の倍数
各位の数の和が9の倍数
① 2 以上の自然数のうち, 1とそれ自身以外に正の約数をもたない数を素数とい
い,素数でない数を合成数という。 1は素数でも合成数でもない。
② 整数がいくつかの整数の積で表されるとき,積を作る1つ1つの整数を,もとの
整数の 因数 という。素数である因数を素因数といい, 自然数を素数だけの積の
形に表すことを素因数分解 するという。
4 約数の個数, 総和 自然数 N を素因数分解した結果がN=pager…………. であるとき,
Nの正の約数の個数は (a+1)(b+1)(c+1)......
←基本例題 8 参照。
総和は (1+p+...+pª)(1+q+···+q°)(1+r+...+rº) ......
解説
■ 約数, 倍数
a=bk のときa=(-6) (-k) であるから, bがαの約数ならばーも
αの約数である。 また, すべての整数は0の約数であり, 0 はすべて
の整数の倍数である。 なお, 0 がある整数の約数となることはない。
■倍数の判定法
[4の倍数の判定] 正の整数Nの下2桁をaとすると, 負でないある整
数kを用いて, N=100k+α=4・25k+α と表される。
よって、Nが4の倍数であるのは, αが4の倍数のときである。
[3の倍数 9の倍数の判定] 例えば, 3桁の正の整数Nを
N = 100α+106+cとすると,
N=(99+1)a+(9+1)6+c=9(11a+b)+(a+b+c) であるから,
a+b+cが3の倍数であればNは3の倍数であり, a+b+cが9の倍
数であればNは9の倍数である。 4桁以上の場合についても同様。
■素因数分解の一意性
合成数は, 1 とそれ自身以外の正の約数を用いて, いくつかの自然数
の積で表すことができる。 それらの自然数の中に合成数があれば,そ
の合成数はまたいくつかの自然数の積に表すことができる。
このような操作を続けていくと,もとの合成数は, 素数だけの積にな
る。 よって, 合成数は、 必ず素因数分解でき
注意 以後,約数や倍
整数の範囲 ( 0 や
数は,
負の数も含む) で考え
る。
<0は0=60 と表さ
れるから 60 の
約数であり, 06
の倍数である。
4の倍数の判定法は、
「下2桁が4の倍数
または 00」と示され
ることもある。 本書
では, 00の表す数は
0 であるとみなして
4の倍数の中に含め
ている。
例えば,210=6・35
と表すことができる
が6=2・3.35=5･7
から 2102･3･5･7
to
110 約数と倍数
00000
aとbがともに3の倍数ならば, 7a4bも3の倍数であることを証明せよ。
は0でない整数とする。
P.516 基本事項
がともに整数であるようなαをすべて求めよ。
40
aが6の倍数で,かつbがαの倍数であるとき, αを6で表せ。
■ 「αがもの倍数である」ことは, 「bがαの約数である」
ことと同じであり,このとき,整数kを用いて
a=bk
と表される。このことを利用して解いていく。
(2) αは5の倍数で,かつ40の約数でもある。
bが3の倍数であるから, 整数k, lを用いて
a=3k, b=3l
と表される。
a=bk
Laは6の倍数
7a-46=7・3k-4・31=3(7k-4L)
よって
7k-4lは整数であるから, 7a-46は3の倍数である。
(②2) 1/3が整数であるから,αは5の倍数である。
ゆえに,kを整数としてα=5kと表される。
よって
40 40 8
a 5k k
40 が整数となるのは, kが8の約数のときであるから
a
k=±1, ±2, ±4, ±8
したがって
a=±5, ±10, ±20, ±40
と表される。
(3) αが6の倍数, bがαの倍数であるから 整数 k lを
用いて
a=bk, b=al
a=bk を b=al に代入し, 変形すると
60 であるから kl=1
k, lは整数であるから k=l=±1
したがって
a =±b
bαの数
b(kl-1)=0
整数の和差積は整数
である。
a=5k を代入。
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負の約数も考える。
α=5kにの値を代入。
を消去する。
<k.lはともに1の約数で
110 (ア) a,bがともに4の倍数ならば、' +62は8の倍数である。
の倍数で
断ならば、cdはabの約数である。
(1) 次のことを証明せよ。 ただし, a,b,c,d は整数とする。
4
章
倍数の表し方に注意!
だったら
a=tbl=
数であるから, のように別の文字 (k, lなど) を用いて表さなければなっない
上の解答ので, lを用いずに, 例えば (1) で α=3k, b=2のように書いてはダメ!
これではα=6となり, この場合しか証明したことにな
なるのですか?
1989 約数と倍数、最大公約数と最小公倍数
と書く
f
2432115)
214-191
分かりました！ありがとうございます！