基本例題 98円と直線の位置関係
/ P.153 基本事項
円(x+4)+(y-1)=4と直線y=ax+3 が異なる2点で交わるとき,定数
値の範囲を求めよ。
①円と直線の方程式から1文字を消去して得られる2次方程式の判別式 D
指針円と直線の位置関係を調べるには、次の2つの方法がある。
解答
号を調べる。
② 円の中心と直線の距離dと円の半径rの大小関係を調べる。
異なる2点で交わる⇔D>0⇔d<r
⇔D=0⇔d=r
⇔D<O⇔d>r
これからαの値の範囲を求める。
円と直線が1点で接する
共有点をもたない
2 d<r
問題の条件は, ①1 D>0
CHART 円と直線の位置関係 1 判別式
整理すると
[解法1] y=ax+3を円の方程式
に代入して
(x+4)²+(ax+2)²=4
(a²+1)x2+4(a+2)x+16=0
判別式をDとすると
a=0
-4
=-4a(3a-4)
円と直線が異なる2点で交わるための条件は
ゆえに
-4a(3a-4)>0
4
であるから
la・(-4)-1+3|
√a²+(-1)²
両辺に正の数√²+1 を掛けて
両辺は負でないから平方して
整理して
4a(3a-4) <0
3.
[②2] 中心と直線の距
YA
3
6+1-4a+2|
lo
-= {2(a+2)}²-16(a²+1)
4
=4{a²+4a+4-4(a²+1)} ()) ORAN
1
HOLDE
D>0
よって
0<a<-
[解法2]円の半径は2である。円の中心(-4, 1)と直線
の距離をdとすると, 異なる2点で交わるための条件は
d<2
√a²+1 <²0
指針 ① の方法。
判別式を利用する
|-4a+2|<2√a²+1
(-4a+2)²<4(a²+1)
a²+10であるか
xの2次方程式です
図で,直線y=am
常に点(0, 3))
る人する。
4
よって0<a<-
a</
3
検討
円と直線の位置関
けを考える場合は
に示すように、
方法が簡明である
指針②の方法
と直線の距離を
y=ax+3から
ax-y+3=0
|-4a+2|=2|-20
であるから、両辺
で割ってもよい。
基本例題
直線y=x-
指針円の
右の
C
円の
解答 また、
とし,
ると
OA=
別解
整円
関
