Question

Hi（受験生）

129.
記述これでも大丈夫ですか？？

JUL
510
OS
00000
基本例題1291次不定方程式の応用問題
3で割ると余り, 5 で割ると3余り, 7で割ると4余るような自然数nで最小の
ものを求めよ。
指針▷
基本 127,128
が共通の数。
8が最小である。
3で割ると2余る自然数は 2,5, 8, 11, 14, 17, 20, 23,
5 で割ると3余る自然数は 3, 8, 13, 18,23,
よって、「3で割ると2余り, 5 で割ると3余る自然数」を小さい順に書き上げると
3と5の最小公倍数 15 ずつ大きくなる。
A8, 23, 38, 53, 68,
また, 7で割ると4余る自然数は B 4, 11, 18, 25, 32, 39,46,53,
A,B から、求める最小の自然数は53 であることがわかる。
このように、書き上げによって考える方法もあるが,条件を満たす数が簡単に見つからな
い (相当多くの数の書き上げが必要な) 場合は非効率的である。
-110/
そこで,問題の条件を1次不定方程式に帰着させ、その解を求める方針で解いてみよう。
CTORUTSJEFE
解答
nはx,y,zを整数として,次のように表される。 注意x+2=5y+3
3)=0 S&TS
5y+3=7z+4
n=3x+2, n=5y+3, n=7z+4
小
3x+2=5y+3 から 3x-5y=1
x=2, y=1は, ① の整数解の1つであるから
3(x-2)-5(y-1) = 0 すなわち 3(x-2)=5(y-1)x
3と5は互いに素であるからんを整数として, x-2=5kと表
される。よって x=5k+2(kは整数)
②
bom)
3(5k+2)+2=7z+4
② を 3x+2=7z+4に代入して
ゆえに
z=-8, k=-4 は、 ③の整数解の1つであるから
7(z+8)-15(k+4)=0 すなわち 7(z+8)=15(+4)
7と15 は互いに素であるから, lを整数として,z+8=157 と
表される。 よって z=151-8 (Zは整数)
(Thom)
これをn=7z+4に代入して n=7(157-8)+4=1057-528
最小となる自然数nは, l=1 を代入して
53 TE bom) 85-=
として解いてもよいが,係
数が小さい方が処理しやす
い。
このときy=3k+1
x-7z=2から
7z-15k=4...... ③③ A+ASA-=(A+10)-06-3(x-3)−7(z−1)=0
ゆえに, Zを整数として
x=7l+3
これと x=5k+2 を等置し
て 5k+2=7l+3
よって5k-71=1
これより, k, lが求められ
るが, 方程式を解く手間が
1つ増える｡
検討 百五減算
2+(3=376)00=1+00=178
ある人の年齢を3,5,7でそれぞれ割ったときの余りをa,b,c とし, n= 70α+216+15c とす
る。このnの値から 105 を繰り返し引き, 105より小さい数が得られたら、その数がその人の年
齢である。 これは 3,5, 7で割った余りからもとの数を求める和算の1つで、 百五減算と呼ばれ
る。なお,この計算のようすは合同式を用いると,次のように示される。
求める数をxとすると, x=a (mod3), x=6 (mod5) x=c (mod7) であり,
n=70a=1•a=a=x (mod 3), n=21b = 1.b = b = x (mod 5), n=15c=1+c=c=x (mod 7)
よって, n-xは3でも5でも7でも割り切れるから, 3, 5, 7 の最小公倍数 105 で割り切れる。
ゆえに,を整数として, n-x=105k から x=n-105k
このkが105を引く回数である。
TRON
練習
3で割ると2余り,5で割ると1余り, 11で割ると5余る自然数nのうち
(3) 129 1000 を超えない最大のものを求めよ。
どのよう
できない
3m
よー
解答
mnは食
[1] n=
よって,
x=3m-
[2] n=
ここで.
よって
......)
[3] n=
ここで
よって
......)
[1]~[3]
形に表す
よって,
したが一
(検討
次ペー
しかし
然数も
なお、
a

例題129
EZZ # k l m z Fuzz
n = 3k + ₂
5df)
= 7m + f
3k + 2 = l + 3 cafe
ok-sl = 1/-0
ⒸaF²² 12 ₁2k₁-3₁ = -2
a
トー
£₁23-3-5(-2)= | - 0
O
3²(k+51 - 5 (1 + ²) = 0
21
3 (²+ - ³ | = 5 (1 + ² ) ~ ☺
5| le
3℃とは互いに素である。ぐ
k + 5 17 3 a 1207.
整数aを用いるとk+b=IQ
これを③に代入すると
3-5α = 5(8 + x)
3a = l +
£₁ 24² = 5α = 3₁ l = 3a - 2 - (x)
さ
$7= 5l + 2 = 7m + 4
£₁251-7 mm = / - Ⓡ
Ⓒa ²²7 α 17 12 l = 3₁ m² = 2
F x
7.2
=
71m
Ilm
-2
©
= 0
l = 3a - 2₁ l = 76+3 = ²7
Ja -
8b+ 2
2a-76
(6) α Fα 1 2 1 2 α =
J
2
7
Ⓒ = 0 + 1
J
e
3
sl
5
Je 7 7 9 1 Va
l - I F Ta T&#XJ. & Jad"
327124-11-20
整数bを用いるとl-3=7bla-とはその倍数である。
よ.2l=7b+3.
** Zu z α = T₁ xXx
C
S
6
2
1
2
-
NO.
DATE
6
4.6:1
23-4-7.1
=
13/a-41-716-11=0
3 (α - x) = 7 (6-1)
これを(*)に代入すると
d = 3(7c xx / -2
= 150+5)
= 2/0 +10
Lacniac=0₂²F¶n=15³5 41231 n = 5(²/c +10) +h
10
5-10
KOKUYO
15
30

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

mi-

okですよ！
3が7に見えるので記述の時は人によっては罰にされそうなので一応書いときます。

Hi（受験生）

どの3ですかね？？

mi-

答えとかは最初57に見えました笑

Hi（受験生）

なるほどです。笑
気をつけます！