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例題 234 関数の最大・最小〔5〕･･･係数に文字を含む
よびそのときのxの値を求めよ。
a>0とする関数f(x)=x-3ax 0≦x≦3) の最大値と最小値, お
思考プロセス
Re Action 関数の最大･最小は, 極値と端点での値を調べよ 例題228
f'(x)=3x-6ax=3x(x-2a) であり
aの値が大きくなるとき,
グラフ全体が平行移動するのではなく,
極小値をとるx (2a) が右側へ動いていく。
問題を分ける
最大値と最小値を同時に考えるのは難しいから, 分けて考える。
(極小となる点を
区間に含む
最小値
最大値
x
f'(x) +
f(x) >
0
0
極小となる点を
区間に含まない /
･･･・･ (最小値)=(極小値)
/区間の両端での
値の大小を考える
f'(x)=3x²2-6ax=3x(x-2a)
f'(x) = 0 とすると
x=0, 2a
よって, f(x) の増減表は次のようになる。 YA
0
2a
0
+
-4a³7
ゆえに,y=f(x)のグラフは右の図。
最小値について
(ア) 3 <2a すなわちa>
f(x)はx=3のとき
最小値 27-27a
-
f(x) は x = 24 のとき
最小値-4
3
12/2のとき
3
(イ) 20≦3 すなわちaso2 のとき
***
/区間の両端での
値の大小を考える
境界となる
両端の値が等しいときを考える
0
U
0
-4a³
2a
x
2a 3
D
YA
O
2a
N
dara
2a
a>0 より 2 > 0
S
極小となるx = 24 を区
間 0≦x≦3に含むかど
うかで場合分けする。
3 245 = (-
次に, 最大値について
f(x)=f(0) となるxの値は
x-3ax² = 0 より
x2(x-3a) = 0
よって
(ア) 3 <3a すなわちa>1 のとき
f(x)はx=0のとき
最大値 0
x = 0, 3a
(イ) 3a = 3 すなわちα=1のとき
f(x) は x = 0, 3のとき
最大値 0
(ウ) 34 <3 すなわちa <1のとき
f(x)はx=3のとき
最大値 27-27a
a=1のとき
1<a ≤
3
2
3
2
R
O
<a のとき
-4a³
------
0
3a
0 3a3
以上より, f(x) の最大値と最小値,およびそのときのxの
値は
( 8 (0<a<1のとき
2a
のとき x=0で最大値 0
x
3.3g
3
x=3 で最大値 27-27a
x=2で最小値-4c
x = 0, 3 で最大値 0
x=2で最小値 4
x=2αで最小値-4α
x=0で最大値 0
x=3で最小値 27-27a
最大値となり得る極大値
f (0) = 0 と等しい値をと
るxの値を求める。
p.407 Go Ahead 16 の内
容を用いて, x = 3g を確
認できる。
(Svarar 1
aaa
0
2a 3a
x=3g を区間0x3
に含むかどうかで場合分
けする。
(ア) (イ) の最大値は一致
するが、 最大値をとるx
の値が異なるから, 分け
て考える。
分かりやすいように, 最
後に, 最大値と最小値を
まとめる。
Point... 定数を含む関数の最大･最小･
例題234 において、 場合分けを考えるとき, 固定された区間 0≦x≦3に対して, グラ
フを x = 24 や x=3α に着目し伸縮させて考
えた。
(最小値) (ア)
見方を変える
右の図のように、グラフを固定して,区間の端
点x=3を相対的に動かしても考えやすい。
(イ) (最大値) (ア)(イ) (ウ)
HUN
0 32a
0 3 3a3
5章 14 導関数の応用
練習 234a>0とする。 関数 f(x)=x-342x (0 ≦x≦1) の最大値と最小値, およ
びそのときのxの値を求めよ。
p.430 問題234
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