質。
方
めよ
F
E
66 角の二等分線の定理の逆
△ABCの辺BC を AB : AC に内分する点をPとする。 このとき, APは∠A
の二等分線であることを証明せよ。
例題
基本
指針 p.402 基本事項 ② 定理1 (内角の二等分線の定理) の逆である。 題意を式で表すと
BP : PC=AB:AC APは∠Aの二等分線 ( ∠BAP=∠CAP)
線分の比に関する条件から,角が等しいことを示すには,平行線を利用するとよい。
∠Aの二等分線
のAを越える延長上に, AC=AD となるような点Dをとることから始める。
別解 ∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとして,2点P, Dが一致することを示す。
なお,このような証明方法を 同一法または一致法 という。
解答
△ABCにおいて, 辺BA の延長上に点D
ACAD となるようにとる。
BP:PC=AB:ACのとき,
BP:PC=BA: AD から
AP // DC
ゆえに
の証明(p.402 解説)にならい,まず,辺BA
BP:PC=AB:AC
∠BAP=∠ADC
∠PAC=∠ACD
ETUS:
FAR OSTA B PC
∠ADC=∠ACD
RIĀ A
AC=AD から
QAB
よって
∠BAP=∠PAC
C
すなわち, APは∠Aの二等分線である。
別解辺BC上の点Pが
BP:PC=AB : AC ...... ①
を満たしているとする。
∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとすると, 内角の二等
分線の定理により
D
1610
(BM-MEDAIP + (MC
TRANS
AB:AC=BD: DC ･･････ ②
①②から
よって, PとDは辺BCを同じ比に内分するから一致する。
BP: PC=BD:DC
したがって, APは∠Aの二等分線である。
p.402 基本事項 ②
平行線と線分の比の性質の
逆
平行線の同位角、錯角はそ
れぞれ等しい。
△ACD は二等辺三角形。
B
OTA
99
JA
AT DRAA
DP
C
C
NE
CA
p.402 基本事項 ② の定理 2 についても逆が成り立つ。 下の練習 66 でその証明に取り組
んでみよう。
JSICODSE
S
314
ABCの辺BC を AB: AC に外分する点をQとする。このと
あることを証明せよ。
405
3章
1 三角形の辺の比、五心
10
る。
である
である
1,2
n-1
音数
である
ったと
数は
には,
。
①へ
あるな
c を満
つ。
るるる
n進
たいう。
14234
