Question

えだまめ

ロケットの問題です。
回答の？がついてるいる式がどうしてこの式になるのか教えて頂きたいです。お願いします。

ロケット
42. ロケットの推進の原理 6分
は、高速のガスを後方に噴射することにより,そ
の反動で前方に進む。 速さ Vで等速直線運動し
ている質量Mのロケットから,質量mのガスを
真後ろに向けて瞬間的に噴射した。噴射されるガスの速さは,そのガスを噴射する前のロケットに対し
て”であるとする。空気の影響や重力加速度は考慮しなくてよく,ロケットの運動は常に直線的であ
るものとする。 また, ロケットの進む向きを正の向きとする。
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問1 ロケットがガスから受ける力積の大きさはいくらか。次の①~④のうちから正しいものを1つ
選べ
① mu 2 (M-m)v 3 (M-m)V 4 (M-m) (V-v)
問2 ガスを噴射した後のロケットの速さを Vとすると, M, m, V,V', ” の間にはどのような関係
が成りたっているか。 次の①~④のうちから正しいものを1つ選べ。
0 MV=MV' + mv
MV=MV'+m(V-v)
② V+
m
M
V
M
③ MV=(M-m)V'+mu ④ MV=(M-m)V'+m(V-v)
問3 ガスを噴射した後のロケットの速さはいくらか。 次の①~④のうちから正しいものを1つ選べ。
[2001 横浜国大 改]
① V+u
④ V+-
3 V+ -
m
M
ひ
V
m
M-m
ガス
ひ
m
V'
第3章 運動量の保存 29

42 問1①問 2 ④ 問 3 ④
問1 「ロケットに対するガスの速さぃ」は,ロケッ
トから見た相対速度のことで,地上から見たガスの
速度ひかからロケットの速度を引いたものである。
すなわち,速度Vのロケットから見て後方に (相
対速度 -v)の速度なので,相対速度の式
「UAB=DB-DA」より
-v=VH-V
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よって
v=V-v
M
V
問3 ① 式より
ゆえに
このとき,ガスの運動量の変化は
m (V-v)-mV=-mu
この値は,ロケットがガスに与えた力積であり,そ
の大きさはガスがロケットに与えた力積に等しい。
したがって, ロケットが受けた力積の大きさは
MV=(M-m)V'+m(V-v④
ひ
mv① である。
問2 ガスの噴射はロケットから及ぼされる内力に
よって起こるので, 噴射の前後で運動量が保存され
る。
m
MV=(M-m)V'+mV-mu
(M-m)V'=(M-m)V+mu
V' =V+
m
M-m
V
V'
M-m
ミス注意!
運動量保存則は,静止した観測者から見た速度を用いて
式を立てる。 ロケットに対するガスの相対速度をそのま
ま代入してはいけない。

Answer 1

ぺんぎん

＿燃料ガスが途中で失火し、そのまま燃料のまま垂れ流された場合を考えてみましょう。mは、v=0 で垂れ流されますが、ロケットの V’ の速度を持っています。
＿慣性の法則で、ロケットを外から観測している人には、v=0 で垂れ流された燃料もV’ の速度を持ってロケットを追い掛ける様に観測されます。(実際には、気圧の低い上空なので、気化して行きますが。)
＿詰まり、燃料ガスの速度v とは、ロケットから観測した速度なのです。
＿ですから、ロケットを外から観測している人には、燃焼ガスは、(V‘-v) の速度に見える訳です。