Question

Yy

求解

12
有條件限制的整數解個數
組。
(1)x+y+z=7的正整數解有
(2)x+y+z=7,且x>2,y≥-1,z≥0的整數解有
(3)x+y+z≤7的非負整數解有
組。
組。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

可知

重複組合的題目
可表示為不定方程式
x1+x2+x3+ ... +xn = m
那麼該方程式的非負整數解有：
n ←未知數個數
H
m ←未知數總和

= H(n,m)
= C(n+m–1, m) 組。

(1) H(3,7–3)=H(3,4)=C(6,4)=15 組

(2) 因為 y≥–1 是比較麻煩的地方，需要討論：
情況一：y=–1
那麼 x+z=8, x≥2, z≥0
帶有條件的整數解有
H(2,8–2)=H(2,6)=C(7,6)=7 組

情況二：y≥0
那麼 x+y+z=7, x≥2, y≥0, z≥0
整數解有 H(3,7–2)=H(3,5)=C(7,5)=21 組

(3) x+y+z≤7
因為可能不滿7，所以可以令一個變數 w，使得
x+y+z+w=7 可以湊成7，其中 w≥0
所以非負整數解有
H(4,7)=C(10,7)=120組。

可知

註：（2）小題要把情況一跟情況二的組數加起來，我忘記打了，總共 28 組。