Question

ねこのき

数１青チャートの問題で
（2）です
任意の実数ｘってどういう意味ですか？
問題の意味が理解できません
a＝0のとき例えばｘ＝0は成り立たないと解説の最初の方にありますがなんのことかわからないです

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00000
基本 115 常に成り立つ不等式 (絶対不等式)
(1) すべての実数x に対して, 2次不等式x2+(k+3)x-k> 0 が成り立つよう
な定数kの値の範囲を求めよ。
(2) 任意の実数x に対して, 不等式 ax2²-2√3x+a+2≦ 0 が成り立つような定
数αの値の範囲を求めよ。
p.187 基本事項
指針左辺をf(x) としたときの, y=f(x)のグラフと関連付けて考えるとよい。
(1) f(x)=x2+(k+3)x-kとすると,
すべての実数x に対してf(x)> 0 が成り立つのは,
y=f(x)のグラフが常にX軸より上側 (v>0 の部分)に
あるときである。
y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから, グラフが
常にx軸より上側にあるための条件は, x軸と共有点をも
たないことである。 よって, f(x)=0の判別式をDとする
と, D<0 が条件となる。
D<0はkについての不等式になるから, それを解いてんの値の範囲を求める｡
(2)(1)と同様に解くことができるが,単に「不等式」 とあるから.α=0の場合(2次
y=f(x)
f(x)の値が常に正
a=0のとき、
y=f(x) の
よって す
の条件は,
x軸と共有
ある。
2
める条件
であるか
よって
a<0と
[補足] この例題
対不等式

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10000
(1) すべての実数xに対して、 2次不等式x+(k+3)x-k> 0 が成り立つよう
な定数kの値の範囲を求めよ。
･ 115 常に成り立つ不等式 (絶対不等式)
基本
(2) 任意の実数xに対して, 不等式 ax²-2√3x+a+2≧0 が成り立つような
数αの値の範囲を求めよ。
p.187 基本事項
指針左辺をf(x)としたときの, y=f(x)のグラフと関連付けて考えるとよい。
(1) f(x)=x2+(k+3)x-kとすると,
すべての実数xに対してf(x) > 0 が成り立つのは,
y=f(x)のグラフが常にx軸より上側 (y>0 の部分)に
あるときである。 ...... ★
y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから, グラフが
常にx軸より上側にあるための条件は,x軸と共有点をも
たないことである。よって, f(x)=0 の判別式をDとする
と, D<0 が条件となる。
解答
f(x) の値が常に正
D<0 はんについての不等式になるから、それを解いてんの値の範囲を求める。
(2)(1) と同様に解くことができるが、単に「不等式」とあるから,a=0の場合(2次
不等式でない場合) と α≠0 の場合に分けて考える。
a≠0)の場合,αの符号によって,グラフが下に凸か上に凸かが変わるからにつ
いての条件も必要となる。 また, 不等式の左辺の値は0になってもよいから、グラ
フがx軸に接する場合も条件を満たすことに注意する。
CHART
不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連付けて考える
(1) f(x)=x2+(k+3)x-kとすると, y=f(x) のグラフ
は下に凸の放物線である。
よって, すべての実数xに対して f(x)>0が成り立つた
めの条件は, y=f(x) のグラフが常にx軸より上側にあ
る,すなわち, y=f(x) のグラフがx軸と共有点をもた
ないことである。
ゆえに, 2次方程式f(x)=0の判別式をDとすると, 求
める条件は
D<0
D=(k+3)²-4•1•(-k)=k²+10k+9
=(k+9)(k+1)
であるから, D<0より
+
(k+9)(k+1)<0
-9<k<-1
よって
(2) a=0のとき, 不等式は-2√3x+2≦0 となり,
例えば x=0のとき成り立たない。
f(x) の x2の係数は正で
あるから、下に凸。
指針
★ の方針
不等式が成り立つ条件を
y=f(x)のグラフの条件
に言い換えて考える。
f(x) 0から
D>0
6
とすると誤り!
D<0 の "<" は, グラブ
がx軸と共有点をもた
ないための条件である。
a=0のとき、左辺は
次式でない。
であ
この
対不
S
不等
E
検討
PLUS
ONE
11

1
51
条件
LO
検討
0のとき、F(x)=x-2、3x+a+2とすると､
(x)のグラフは放物線である。
よって、すべての実に対し/(x)が成り立つため
の条件は、y=f(x)のグラフが上に凸の放物線であり、
軸と共有点をもたない、または、x軸と接することで
PLUS
ONE
ゆえに、次方程式(x) -0の判別式をとすると､求
める条件は
a<0 かつ DO
2-(-√3)²-a(a+2)--a²-2a+3
--(a+3)(a-1)
であるから､DS0 より
(a+3)(a-1)20
as-3, 15a
a<0 との共通範囲を求めて
不等式の条件をグラフの条件に言い換える
検討
この例題は、不等式が成り立つ条件を関数のグラフが満たす条件を求めることで解いた。
2次不等式 ax²+bx+c>0 (+0) を例に、考え方を整理しておこう。
不等式の条件
すべての実数xに
ついて、 2次不等式
ax+bx+c>
が成り立つ
as-3
この例題の不等式のように、すべての実数について成り立つ不等式のことを、絶
対不等式という。
グラフの位置
F(x)の値が0以下
2次関数
y=ax²+bx+c
のグラフが常に
x軸より上側にある
f(x)のグラフは下に
F(x)が成り立つこと
はない。
求めよ｡
(2) すべての実数xに対して、不等式
数αの値の範囲を求めよ。
係数の条件
Q0 (下に凸の放物線)
x軸と共有点をもたない)
また、 「すべての実数xに対してf(x)>0」は、「(f(x) の最小値)>0」と言い換えることも
できる。 問題によっては、 グラフの条件よりも、最小値の条件の方が求めやすい場合もあ
る (次ページの例題116を参照)。 なお, 例題 115 (1) において、関数
f(x)=x²+(k+3)x-kの最小値が0より大きいための条件は､ 解答と同じD<0である。
2の係数に文字があるときの条件は?
(2) のように,xの係数に文字があるとき､ 考える不等式が2次不等式にならない場合もあ
る。 x2の係数が0になる場合も含めて考えると､次のようになる。
すべての実数に対してax+bx+c>() が成り立つ
⇒ (a=b=0 かつc>0) または (a>0かつ<0)
練習 (1) 不等式x2xkx-4の解がすべての実験できるDIN
115
195
3章 12次不等式

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

exod

xに何を代入しても不等式が成り立つようなaを求めろということです。
-∞≦x≦∞の範囲の実数xのうち、なにを取ってきても成り立つようにaを求めます。
a=0のときy=-2‪√‬3x+2とすれば、一次関数なので、当然、yが正のところが出てきますよね。
例えばx=0のときy=2(切片)＞0なので、
全てのxで-2‪√‬3x+2≦0はなりたたないことがわかります。
二次関数であるf(x)で判別式を使うので、判別式を使う必要のない一次関数(a=0のとき)を場合分けてます。

ねこのき

なるほど！ありがとうございます✨めっちゃ分かりやすいです！