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*]
演習 例題225 不等式が常に成り立つ条件(微分利用) 00000
aは定数とする。 x≧0 において,常に不等式x-3ax²+4a> 0 が成り立つよう
にαの値の範囲を定めよ。
基本220
指針
練習
解答
f(x)=x-3ax2+4aとして,
[x≧0 におけるf(x) の最小値] > 0
となる条件を求める。
導関数を求め,f'(x)=0とすると x=0, 2a
02a の大小関係によって, f(x) の増減は異なる
から 場合分けをして考える。
f(x)=x²-3ax2+4a とすると
不等
f'(x)=3x²-6ax=3x(x-2a)
f'(x)=0 とすると
x=0, 2a
求める条件は,次のことを満たすαの値の範囲である。
x≧0 におけるf(x) の最小値が正である」
[1] 2a < 0 すなわち α<0のとき
--------
x≧0 におけるf(x) の増減表は右のよう
になる。
① を満たすための条件は 4a>0
したがって a>0
これは α<0に適さない。
[2] 2a = 0 すなわち α = 0 のとき
F(x)=x≧0, f(x)は常に単調に増加する。
*① を満たすための条件は
(0)=4a>0
よって
a>0
Ⅱ [3] 2a> 0 すなわち a>0のとき
x≧0 におけるf(x) の増減
表は右のようになる。
① を満たすための条件は
-4a³+4a>0
ゆえに
よって
これを解くと
a> 0 を満たすものは
0<a<1
[1]~[3] から 求めるαの値の範囲は
これは α=0 に適さない。
xC
f'(x)
f(x) 4a
0
-4a(a+1)(a-1)>0
a(a+1)(a-1)<0
a<-1,0<a<1
f'(x)
f(x) 4a
0
2a
0
-4a³+4a
0<a<1
2a<0
2a 0x
+
.....
+
2a=0
I
0 x
[注意] 左の解答では,
[1] 2a<0, [2] 2a=0,
[3] 2a>0の3つの場合に
分けているが, [1] と[2] を
まとめ, 2a≦0, 2a>0 の場
合に分けてもよい。
なぜなら, 2a≦0のとき,
x≧0ではf'(x) ≧0
であるから, x≧0 でf(x) は
単調に増加する。
ゆえに,x≧0での最小値は
f(0) =4a である。 実際に左
の解答 [1] [2] を見てみ
ると,同じことを考えている
のがわかる。
e/-1 0
< a>0 のとき
0<2a
a (a+1)(a-1)の符号
+
a(a+1)>0
02ax
ゆえに α-1<0
としてもよい。
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6章
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関連発展問題
