Mathematics
高中
已解決
解説のO1O2=5+3=8という部分がなぜそのような指揮が出てこの計算に至るのかわかりません。教えていただきたいです。
実戦問題
130 点Zを端点とする半直線 ZX と 半直線ZY があり, 0° < ∠XZY <90° とす
る。また,0°<ZSZX<<XZY かつ STYXTY を満たす点Sをとる。
点S を通り,半直線 ZX と半直線 ZY の両方に接する円を作図したい。
円Oを,次の (Step 1)~ (Step 5) の手順で作図する。
手順
(Step 1 ) XZY の二等分線ℓ上に点Cをとり, 右
の図のように半直線 ZX と半直線 ZY の両
方に接する円Cを作図する。 また,円Cと
半直線 ZX との接点を D, 半直線ZY との
接点をEとする。
(Step 2 )
(Step 3)
との交点の1つをGとする。
円Cと直線ZS
(Step 5 )
点Oを中心とする半径 OH の円Oをかく。
Z
E
D
参考図
半直線ZX上に点Hを DG // HS を満たす
ようにとる。
(Step 4) 点Hを通り, 半直線 ZX に垂直な直線を引き, lとの交点をOとす
る。
: I
•S
I
Y
X
(1)(Step 1)~(Step 5)の手順で作図した円Oが求める円であることは,次の構
想に基づいて下のように説明できる。
構想
円Oが点Sを通り, 半直線 ZX と半直線ZY の両方に接する円であることを示
すには, OH=ア が成り立つことを示せばよい。
ZDG と ZHS との関係, および AZDC と ZHO と
作図の手順により,
の関係に着目すると
DG:
イ
DC:
オ
ウ
であるから, DG:イ =DC : オ となる。 ここで, 3点S, 0, Hが
一直線上にない場合は, <CDG=∠カ であるので, CDG と △
カ
との関係に着目すると, CD = CG より, OH = ア であることがわかる。
なお,3点S, 0, Hが一直線上にある場合は, DG = キ DC となり,
DG: イ=DC:
オ
より OH=||
ア
であることがわかる。
ア
ただし, 同じものを繰り返し選んでもよい。
① HO
② HS
◎DH
③OD
4 OG
6 ZD
⑦ZH
OS
ZO
⑨ZS
に当てはまるものを、次の⑩〜⑦のうちから1つ選べ。
① OHG
② OHS
ZDS
⑤ ZHS
[⑥ ZOS
⑦ ZCG
カ
OOHD
4 ZHG
と
オ
(2) 点Sを通り, 半直線 ZX と半直線ZY の両方に接する円は2つ作図できる。
特に,点Sが∠XZY の二等分線ℓ上にある場合を考える。半径が大きい方の
円の中心を0とし、半径が小さい方の円の中心を02 とする。また,円 02 と
半直線ZY が接する点をIとする。円O と半直線 ZY が接する点をJとし,
円 01 と 半直線 ZX が接する点をKとする。 作図をした結果,円 0 の半径は 5,
円O2の半径は3であったとする。このとき,IJ=クケコ である。
さらに、円Oと円O2の接点Sにおける共通接線と半直線 ZY との交点をL
とし,直線 LK と円 01 との交点で点Kとは異なる点をMとすると
LM・LK サシ である。
また,ZI=スセンであるので,直線LK と直線ℓとの交点をNとする
タ
ツ
SN=
である。
[21 共通テスト(第2日程)〕
チ
テ
LN
NK
に当てはまるものを、次の⑩~⑨ のうちから1つずつ選べ。
=
数学
(2) 02 から直線OJに引いた垂線とOJJとの交
点をTとする。
2
このとき O.T=0J-02I=5-3=2
0.02=5+3=8
よって, 三平方の定理により
すなわち
S
IJ=0₂T=√√√8²—2² = ³2√15
円 01 において,方べきの定理により
LMLK =LS2 03.
XM
したがって
OJO21
よって
ZI:IJ=3:2
したがって, IJ=2√15 から
また, LS=LJである。
さらに、円02において LS=LI であるから
LS=LI=LJ=2YOX
IJ=2√15 より, LI+LJ=2√15 であるから
USI=J
LI=LJ=√15
LM･LKLS2=サシ15
LN ZL
NK ZK
KIK
J
\T
WN 01
セソ
ZI=221
ZI = 2IJ = ³3√/15 104
直線ZN は∠XZY の二等分線であるから
LN: NK=ZL: ZK
=
ZJ : ZI=5:3である。
5:3より,
LN 4
NK
LN ZL "4
=
NK ZK #5
=
=
ZL=LI+IZ=√15 +3/15 4/15
ZK=ZJ=ZI+IJ=3/15 +2/15=5√15
から
よって
直線 SL と半直線 ZX の交点をPとする｡
また, △ZKNと直線LPにおいて, メネラウス
の定理により
e
ZP KL NS
PK LN SZ
X
=1
KL 9
ここで,
LN 4
線分ZSは∠PZL の二等分線であり, ZS I LP
であるから △ZPLはZP=ZLの二等辺三角形
である。
よって, ZP=4√15, PK=ZK-ZP=√15 で
あるから
4/15 9 SN
V15 4 SZ=1
SN=
=1/23sz
131 √√√√6 (1) @
三平方の定理から
ZO2=√ZI2+ O2I2=√(3/15)2+32 = 12
よって
SZ = 12+3=15
SN=15.1=73
したがって
正四面体 BDEG の外接球は、
立方体ABCD
解答編
-
(1) より
よって,
cos0=
(1) 正四面体 BDEG に
外接する球は,立方体
ABCD-EFGHに
外接する球である。
また, 立方体
ABCD-EFGHに
外接する球の直径は, MAJINA U
対角線AGの長さに等しい。
正四面体 BDEGの1辺の長さが4であるから,
立方体ABCD
4011
EFGHの1辺の長さは
√√2 √2
..4=2√2
2
AB=V ・BD =¥
2
よって, 立方体ABCDEFGHの対角線 AG
の長さは AG=√3AB=√3.2√2=2√6
したがって 求める半径R は
R==AG=√76 AN
==
解答のポイント-
EFGHの外接球である。
39
A
1
B
(2) 炭素原子Cは,4つの水素原子 H から等距離
にあるから、 4つの水素原子 H が位置する正四
面体に外接する球の中心の位置にある
よって, 水素原子Hが位置する正四面体を
正四面体 BDEG とし, それに外接する球の中心
0=∠BOD
を0とすると, 求める角0は
正四面体 BDEGの1辺の長さが4であるとき,
OB=OD= √6
BOD において, 余弦定理により
(V6) 2+(√6)2-42
2.√6 √6
=-0.333....
H
'G
解答
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