葉根の利用
複素数 α (α≠1) を1の5乗根とする。
(1) α^+α°+α²+α+1=0 であることを示せ。
(2)(1) を利用して,t=α+α はf2+t-1=0 を満たすことを示せ。
(3)
(3) (2) を利用して, COS-
2012/3の
CHART SOLUTION
解答
(1) α=1から a5-1=0
よって (a−1)(a¹ +a³+a²+a+1)=0
α=1 であるから
(2) α=1 から |a|5=1
ゆえに |a|²=1 すなわち aa=1
したがって, t=α+α から
1の5乗根 α
=1 を満たす解
(1) 因数分解 x-1=(x-1)(x"-'+x"-2+......+x+1)を利用。
(2) ²=1のとき, |ω°|=1⇔ ||=1⇔ ||=1 (|| は実数)
|a|=1 のとき
aa=1 ......
(3) α=1の1つの虚数解をa=cos2/23 x + isin 1/3 とおいてみる。……
ゆえに
πの値を求めよ。
a¹ +a³+a²+a+1=0
COS
は α=1, α=1 を満たす。
2
a=cos-isin, t=a+ā 15
2
(2) から,t+t-1=0 であるから
t>0であるから 12cos232x=-1+√5
よって |a|=1
よって
[+(a+à)−1 = (a + ¹)² + ( a + ¹)-1
-1=Q*+α°+α²+a+1
L
(3) cos2/23 x + isin 12/3とすると 120×5=2であるから
t=2cOS
08²7=1+√5
4
-=0
PRACTICE･･･ 20 ④ 複素数αを α = COS-
(4)
2
1
t=2 cos
2π
is 27 + isin 2 とおく。
7
(1) of+o+a^+α+α'+αの値を求めよ。
(2) ta+α とおくとき セー2tの値を求めよ。
別解 (1) α=1 より 等比
数列の和の公式から
1+a+a²+a³ ta²
_1-0²-1-1=
[類 金沢大)
1-a
←aa=|0|
(1) より
t=-1±√1²-4・1・(-1)-1±√5
2
α*+α3+α²+α+1=0.
/ は
Cos/2/tisin
COS
1の5乗根の1つ。
←a+α=2x(αの実部)
-1/
2
=0
y la
GOS/5
[類 九州大]
2
落ち着いてすればできました！！ありがとうございました😊