考え方
解
[Check
例題
300 数学的帰納法 (2) 不等式の証明
(nt
nが2以上の自然数のとき, 1+2+3+.
1 ((-)|
22
立つことを数学的帰納法で証明せよ.
1
1
1 + 2/2+3/1++ / < 2 -
1+
<2-²
n
2²
(I) n=2のとき,
2以上の自然数について成り立つことを示すので、次のことを証明すればよい.
(I) n=2のとき, 不等式が成り立つことを示す。また合()
(II)n=k(≧2) のとき, 不等式が成り立つと仮定し, これを用いて,n=k+1 の
ときも成り立つことを示す.
33 (433
>
...…. ①
5
(左辺=1+1/23/12 (右)=2-12-27
3
2² 4
N
より 左辺) (右辺) となり, n=2のとき①は成り立つ.
このときの成り
(II)n=k(≧2) のとき① が成り立つと仮定すると,
(*)・・・・・
1+2/2+3/2/2 +･････.+
(*)
3²
n=k+1 のとき,
2²
が成り立つことを示せばよい。
(右辺) (左辺)
di="er 1
=2-
alter='s (1-2
1+1/2/2+1/2++ /1/12 + (+1) = <2-
·+··
3²
k²
>2-
1/22<2 - 1/2
k
k+1
1
k+1
3 漸化式と数学的帰納法
**
1 1
22 3²
1+ +
+･･････+ 171232<2--
n²
(born), d=a
とおく
と
(1-) + C1=70,530 I=R
(-)+¹0=0.30 S-
21450
·+······+·
1
+
k² (k+1)²
1
n
...(*)***
k (k+1)²] =^(r= }= qer}=
$30 17d=5
->0
¯k(k+1)²
したがって (右辺) - (左辺)>0となり,n=k+1 のとき
も成り立つ.
が成り
k+1+ +*@[=>] る.
50 1+s=N₁.816
(I), (II)より2以上のすべての自然数nについて, ① は成り
立つ.
Focus
(5 bom)
JEROE
(n+1)-(4+1)
は2以上の自然数
何を示すかを明記す
(右辺) (左辺) > 0
を示せばよい.
533
(*) の仮定を利用す
るが,不等号の向き
に注意する.
く
ならば,
-A
んは2以上の自然数
だから, k(k+1)^>0
よって,
k(k+1)² >0
数学的帰納法の証明
"S" ([-)+"(S-) =
何が仮定で (スタート), 何を示すべきか (ゴール) を明確に
注 例題 300 や練習 300のように, n=1 から始まらず、最初の数がn=2 やn=4な
