図1のような縦100m, 横200mの長方形の土地があり、 直角二等辺三角形状
に牧草が生えている。 この土地で乳牛を育てるために, 周の長さが320m の長方
形状の柵を設置することを考える。 その際にできるだけ柵内の牧草が生えている
部分の面積が大きくなるようにしたい。
そのために状況を簡略化し, 図2のような AB=200, BC=100 の長方形
ABCD と ∠AOB=90° である直角二等辺三角形OAB および周の長さが320 で
ある長方形 PQRS を考える。 ただし, 2点P, Qは辺AB上にあるとし, 長方形
PQRS は点 0 と辺ABの中点を通る直線に関して対称であるとする。 さらに,直
角二等辺三角形OAB と長方形 PQRS の共通部分をFとし, F の面積をTとす
る。
図1
である。
D
A
80
S
P
(1) PS = 80 のとき, 長方形 PQRS は正方形となり
T= コサシス
O
☺
F
200
図2
R
○
B
1000
8000
(2) PS=x (0<x<100) とおく。 このとき
PQ=
AP= ソ
である。
セ
tz
⑩ -2x+160
④ x +40
の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
①
②
-2x+80
⑤ x + 20
ツ
0<x≦ タチのとき T=
太郎さんと花子さんはTが最大となる場合について考えている。
太郎: Fの形はxの値によって変化するね。
花子: まず長方形 PQRS が、 直角二等辺三角形OAB の周および内部から
なる領域に含まれる場合について考えようか。
太郎: APPS となるときだね。
チ
長方形 PQRS が、 直角二等辺三角形OAB の周および内部からなる領域に含
まれるのは
0< x≤
のときである。
-
-x+160
テ
⑩1/2x+40
タチ <x<100 のとき T=
テ
であるから, 0<x<100 においてTが最大となるのはx= トナのときで
ある。
⑩ - x² +80x
② - x² +240x
" +120x-400
-x+80
の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
2x+20
① x² +160x
(3
52
-5x²+80x400
6-5/
+180x-400
