Question

ふぃり

数学得意な方教えて下さい。

関数y=x^sinx(x>0)を微分せよ。
対数微分法を用いた解法は分かりました。

なぜこれは合成関数の導関数を用いることができないのでしょうか？(dy/dx=(dy/du)x(du/dx))

sinxをuとおくと、(sinx)(x^sinx-1)(cosx)になってしまうのですが、これ自体おかしいのですかね、、？

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

アライグマ

sinx=uとおくと、合成関数の微分法を使おうと思ったら、x^sinxをuの式で表さなければいけません。しかし、x>0の範囲ではxをuの単純な式で表すことは出来ません。(0<x<π/2であれば、sinxは狭義単調減少なので逆関数arcsinが存在しますが、x>0全体では存在しません。)なので、単純にsinx=uとおいても合成関数の微分法は使えません。しかし、x=e^logxなので、y=x^sinx=(e^logx)^sinx=e^(logxsinx)と表せます。そこでu=logxsinxと置けば、合成関数の微分法が使えるはずです。(eのベキの形で表すこととeを底とする対数を取ることはほぼ同じことです)

ふぃり

返信遅れました。3、4文目でそう言う考えもあるんだと学べました、ありがとうございます！
2文目の()がどうしても理解できなくて、、高校数学で理解できる範囲ですか？まだ対数微分法までしか分からないもので…度々ごめんなさい🥲

アライグマ

arcsinは逆三角関数と呼ばれるもので、高校では習わないです。そんなに難しいものでは無いので興味があれば調べてみて下さい。自分が()の中で言いたかったのは、x>0の範囲ではxをu の単純な式で表すことは出来ないってことなのでそこだけ汲み取って頂けたら幸いです。

ふぃり

丁寧に回答ありがとうございます。了解です！