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文字係数の2次関数の最大・最小
基本例題 56
aは定数とする。 関数 y=x2-2ax+α (0≦x≦2) の最大値、最小値を、
の各場合について, それぞれ求めよ。
(1) a≦0 (2) 0<a<1 (3) a=1
CHART
OLUTION
解答
係数に文字を含む2次関数の最大・最小
軸と定義域の位置関係で場合分け
まず,基本形にすると
y=(x-a)²-a²+a
このグラフの軸は直線 x=α で, 文字αを含んでいるから,αの値によって,
軸(グラフ)の位置が変わる。そこで、各場合についてそれぞれのグラフをかき
軸がどの位置にあるか確認する。 その際, 頂点と端点に注目する。
200
y=x2-2ax+a=(x-a)²-a²+a
この関数のグラフは下に凸の放物線で、頂点は点 (a,d²+a),
軸は直線x=α である。
また
(1) a≦0 のとき
x=0のときy=a, x=2のときy=4-3a
(1) ~ (5) のそれぞれの場合のグラフは、図のようになるから
x=2で最大値4-3α
x=0で最小値 α
(2) 0<a<1のとき
x=2で最大値 4-3a
x=αで最小値-α²+α
(3) α=1のとき
x=0, 2 で最大値1
x=1 で最小値0
(4) 1<a<2のとき
x=0 で最大値 α
x=αで最小値-a²+α
(5) α≧2 のとき
x=0 で最大値 α
x=2で最小値4-3α
(1)
1p.84 基本事項 ②. 基本 54
(2) ¦ ye
4-3a
a
-a² + a
O
4-3a
a
(4) 1<a<2
|y₁
a0
-Ta
1
2
2x
(5) a≥2
7
x
基本形に直す。
定義域の中央はx=1
軸の位置は、それぞれ
(1) 定義域の左外
(2) 定義域内の左寄り
(3) 定義域内の中央
(4) 定義域内の右寄り
(5) 定義域の右外
