例題 243 定積分と不等式 [2]
自然数nに対して,次の不等式を証明せよ。
Action 数列の和の不等式は, 曲線とx軸で囲まれた部分と長方形の面積の和を比較せよ
....... 1/y=√x が増加関数であることを確認する。
2 y=√xとx軸で囲まれた部分と長方形の面積の和を比較する
32 の不等式に k = 1, 2, ..., n(n+1) を代入し, 辺々を加える
解法の手順･・
2
² n√n <√ [ + √² + √√3+ ··· + √ n < 1/3 ( n + 1 ) √n + I
解答
x≧0 y=√xは増加関数である。
自然数んに対して, k-1<x<んのとき
√k-1<√x <√k
よって
.k
**b5 √k=1</² √ √xdx < √k
すなわち
ここで
√ √k-1dx <f", √x dx <S", √ dx
k-1
k-1
k-1
n+1 ck
√k=1<f",√xdx *) √k=1<2/²₁ √x dx
より
ここで
n+1
k=1
n+1
2 √x dx = √ √x dx + √ √x dx + ... + √x dx
S
k=1k-1
In
xx √ √x dx < √k xD
k-1
n+1
en+1
2
2
= " " " √x dx = ²/3 [x√x]" " = }} (n+1)√n+1
3
10
2
£₂€ √[+√2+√3+...+√n < ² (n+1)√n+ 1 - ①
...
3
•n+1
k
n
#₂ √x dx < Ž√ k
k=1k-1
k=1
n
・k
•n
2", √x dx = √ √x dx + √ √x dx + ... + √ √x dx
k=1Jk-1
n-1
2
= ["√x dx = /²/ [x√x]" = ²/3 n√n.
3
したがって, ①, ② より
2
*₂€ ²/² n√n<√[+√² + √3+ ... + √ñ
よって
²/² n√n <√ [ + √2 + √5 + . . . + √ñ < ²/² (n+1)√n+ 1
映習 243 2 以上の自然数nに対して,次の不等式を証明せよ。
log(n+1)<1+=
1+1
yl
√E
√k-
√k-1
例題242
両辺に
y=√√x
両辺に
k-1 k x
$11
k-1 k
面積の大小関係を表して
いる。
√k<
k=1, 2, ..., n+1
を代入して辺々を加える。
k=1,2,..., n
を代入して辺々を加える。
例題
次の
(1)
AC
解法
合
LE
(1)
