Question

Aoi

数学的帰納法の問題です。

下線部の変換が分かりません。

解説お願いします🙇‍♀️

(3) √1.2 + √2.3 +...+√n(n+1) <
+ √n(n+1) < (n+1)²
2

=(1+1)
左辺=√1.2=√2,右辺=(1+1)2
(3) [1] n=1のとき
i=2
よって, n=1のとき, (A)が成り立つ。
[2] n=kのとき (A) が成り立つ, すなわち
√1.2+√√2.3+
+√√k(k+1)
Arch02
(k+1)²N S
2481
が成り立つと仮定する。
n=k+1のときの(A) の両辺の差を考えると
(25 (k+2)²
+ 2)²-(√1.2 + √2·3+·

(k+ 2)²
12
-
+√k(k+1)+√(k+1)(k+2)}
√(k+1)(k+2)
(k+1)²
2
-
(2k+3)=2√(k+1)(k+2)
2
/k+2√√√√k+ 1)²
2
>O
すなわち
であ√1・2 +√23 + ...... +√(k+1)(k+2)
(k+2)²
2
<
$(5)528
よって,n=k+1 のときも (A) が成り立つ。
MAV
[1], [2] から,すべての自然数nについて (A) が
成り立つ。

数学的帰納法

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ゆい

2k＋3－2√(k＋1)(k＋2)
＝(k＋1)－2√(k＋1)(k＋2)＋(k＋2)
√(k＋1)＝a
√(k＋2)＝b
とおくと、
a²－2ab＋b²
となるので、
(a－b)²
また、
(a－b)²＝(b－a)²
なので、これに代入すると、
{√(k＋2)－√(k＋1)｝²
となります。

Aoi

ありがとうございます！
とても分かり易くて、助かりました🙏