✨ 最佳解答 ✨
疑問になってるところが大抵指数法則の所ですね
確認しておくと、
①a^n・a^m＝a・(n＋m)
②(a^n)^m＝a^(n・m)
③a^(－1)＝1/a
④a^0＝1
が成り立ちます。
(1)指数法則を使います。
2^0×2^1×2^2×...×2^(n－1)
＝2^(0+1+2+...+(n－1)) (①より)
＝2^(n(n－1)/2) (等差数列の和の公式より)
(3)S^nを計算した結果とP^2・T^nを計算した結果が一致すればS^n＝P^2・T^nが言えます。
S^n＝(2^n－1)^n …(A)
P^2＝{2^(n(n－1)/2)}^2
＝2^(n(n－1)/2×2) (②より)
＝2^n(n－1)
T^n＝(2・(1－1/2^n))^n
＝(2・(2^n－1)/2^n)^n (1－1/2^nを通分)
ここで2＝1/(1/2)＝1/2^(－1)となるから
2を掛けることは分母に2^(－1)を掛けることに等しい
T^n＝((2^n－1)/(2^n・2^(－1)))^n
＝((2^n－1)/2^(n－1))^n (①より(分母))
＝(2^n－1)^n/(2^(n－1))^n (n乗をばらす)
＝(2^n－1)^n/(2^n(n－1)) (②より(分母))
よって
P^2・T^n
＝2^n(n－1)・(2^n－1)^n/(2^n(n－1))
＝(2^n－1)^n (約分) …(B)
(A)(B)より示されました。
