Question

ナッツ

数IA、確率です。
(3)で、偶数と奇数で最大値がなぜ異なるのでしょうか
図に示してみましたが、kが偶数でも奇数でも最大値が
n+2/4(n+1)になってしまいました。

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nを正の整数とし, kを1≦k≦n+2を満たす整数とする。 n+2枚のカードがあり,
そのうちの1枚には数字0, 他の1枚には数字 2 残りのn枚には数字1が書か
れている。 このn+2枚のカードのうちから無作為に k 枚のカードを取り出すとする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) 取り出したk枚のカードに書かれているすべての数字の積が1以上になる確率
を求めよ。
(2) 取り出したん枚のカードに書かれているすべての数字の積が 2 となる確率
Qn (k) を求めよ。
(3) 与えられたnに対して, 確率Qm (k) が最大となるkの値と, その最大値を求めよ。

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(1) 数字 0, 数字 2 数字 1のカードがそれぞれ1枚, 1枚, n枚の合計n+2枚あり,
そのうちからん枚のカードを取り出す n+2Ch 通りが同様に確からしいとする。
このとき, h枚のカードの数字の積が1以上になるのは, 数字 0 以外のn+1枚の
カードからん枚取り出す場合より, その確率は,
n+1 Ch
(n+1)! k!(n+2-k)!
n+2Ck k!(n+1-k)! (n+2)!
(2) 枚のカードの数字の積が2になるのは, 数字2のカード1枚と数字のカード
をk-1枚取り出す場合より, その確率Qn(k) は, k≦n+1のとき,
n!
k!(n+2-k)! k (n+2-k)
Qn(k)=1xnCk-1
n+2Ck (k-1)!(n-k+1)! (n+2)! (n+1)(n+2)
なお,k=n+2をあてはめるとQn(k)=0となり,このときも成立している。
(3) (2) より Qn(k)=
₁
(n+1)(n+2){-(k-n+2)+ (n+2)²}
(i) n が偶数のとき
-k² + (n +2)k
(n+1)(n+2)
1
(n+1)(n+2)
1
(n+1)(n+2)
(n+2) 2
4
=
Qn(k)はk=n+2のとき最大となり, 最大値は,
2
n+2-k
n+2
n+2
4(n+1)
(i)nが奇数のとき Q(k)はk=n+1, n +3 のとき最大となり,最大値は,
2
2
−1+ (n + 2)²
4
1
(n+1)(n+2)
(n+1)(n+3)
4
n+3
4(n+2)

数学

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ぺんぎん

＿①、n=1 の場合と、②、n=2 の場合と、を、具体的に考えて見て下さい。

ナッツ

kは自然数でないといけなく、n=1(奇数)の時n+2/2は自然数にならないから偶数・奇数で場合分けが必要ということであってますか？

ぺんぎん

＿いえ、違います。n=1も、n=2も、数値が小さいので、全ての場合を考える事ができますね？全ての場合の数を列挙して、確率を求めて見て下さい。

＿因みに、n=1 の場合、k の取りうる値の場合の数は、1、2、3、のいずれか、ですね。それぞれの場合に関して、カードの数がどうなるか、最大値のカードを引く場合の数はどうなるのか？k={1，2，3} の場合を纏めて、確率を求めると、どうなるのか、を考えて見て下さい。
＿n=2 の場合も、考えて見て下さい。

ナッツ

確かに求めてみるとn=1,2で最大値が異なりますね。最大値のカードを引く場合の数も。
そしてその時のkの値、数はそれぞれ回答と合致しています。

ぺんぎん

＿元々頭が良い人は別として、私や、普通の人は、(時間配分間違えて、時間がない時は別として、) n=1〜4 位(ぐらい)の確率を実際に計算してから、一般式はどうなるのかな、と推察して考えるんだと思うし、一般式を先に考えた場合は、n=1〜4 位の確率で、自分の求めた一般式が合っているのか、検算すると思うのだけれども。