Question

りゅう

積分で面積計算する時に、どこまで丁寧にグラフを書けばいいんですか？

グラフの形は式から判断してあとは交点だけ求めていつも計算してます

この方法で失敗することってありますか？
まだそうゆう問題に出会ってなくて、本当にこのやり方でいいのか分からなくて、

322
基本例題 214 曲線と接線で囲まれた部分の面積
曲線 y=-x2+5x上に点A(-1, -4) をとる
(1) 点Aにおける接線の方程式を求めよ。
(2) 曲線 y=-x+5xと接線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
CHART JOLUTION
解答
(1) y'=-3x2+5 であるから, 曲線 y=-x+5x 上の点A
における接線l の方程式は
y-(-4)={-3(-1)2+5}{x-(-1)} すなわち y=2x-2
(2) 曲線と接線lの共有点のx座標は,
-x+5x=2x-2 すなわち x 3-3x-2=0 の解である。
よって
ゆえに
(x+1)(x-2)=0
x=-1, 2
YA
l/
ゆえに, 図から求める面積Sは
s=S_{(-x°+5x)-(2x-2)}dx
-10
A
T
20
I
1
I
-4
=S_^(-x+3x+2)dx
3
--* - += x² +
=x²+2x1²₁
2
=1/(16-1)+1/23(4)
==
(2) まず, 3次曲線と接線の共有点のx座標を求める。
3次曲線 y=f(x) (x3の係数がα) と直線y=g(x) が x = u
f(x)-g(x)=a(x-a)(x-β) が成り立つ。
(ここで,βは y=f(x) と y=g(x) の接点以外の共有点のx座標)
-1
4-1)+2(2+1)=2
(16-1)+(4-1)+2(2+1)=-
INFORMATION 定積分の計算の工夫
-1
------
-1
るとスムーズである。
s=S_^(-x+3x+2)dx=-(x+1)^(x-2)dx
18
x
基本例題
放物線 y
(基本211)
で接するとき
CHART
面積
曲線と接線ℓ は
で接する 重解をもつ
から, (x+1)^
もつ。
よって、
x³-3x-2
²) = (x+1)²(x+a)
とおけ,定数項を
てa=-2
めでに足三
答
放物線
S=(-x3+3x+2)dxの計算はp.303 基本例題 201 と同様に,次のように計算
整理す
ゆえ
よっ
また
求の
求

2141
16 g-xs
(2)
57
y₁ = -37² -+ 5 =
- 3x² +5
JJ * ¢ = 2 {X À V) / A J
=
7=2x=24
Ę
y=-3x²
23+5=(2)
11-7² +5x) - (2x-2)}2x
-X3 + 3x + 2
²2²-x-2
2011 X²-37-2
x² + x².
= [ + x² + ²x² + 2x] ²
2
-4+6² +46-(- / + ²/² x)
3211627
27
-X7-3x
-xx
-X² + 5x = 3x-2
X²-3x-2-0
1x + 1)(x-2)(x+1)==0
-290-2
X=-1₁2

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

mi-

別にグラフは必ずしも書く必要はありません。
ただ今回の問題を例に挙げるのであれば-1≦x≦2で三次関数の方が上にあることを述べられれば十分です。(グラフが複雑すぎて面倒くさい場合など)
またグラフを書くならば少なくともx軸y軸は欲しいです。あとは交点の座標と積分区間ですね。それがあれば十分です。(答えと見た目が多少違くても)