Question

いちご

〔2〕でなぜx−1＝ｉを二乗しているのですか？
教えて下さい

複素数 1+iを1つの解とする実数係数の3次方程式
x+ax2+bx+c=0
･①
について,次の問いに答えよ.
(1) b,c をaで表せ.
(2) ①の実数解を α で表せ.
(3) 方程式①と方程式 x2-bx+3=0 ... ② がただ1つの実数解
を共有するとき, a, b,cの値を求めよ.

(2) (1)より, ① は
x³+ax²-2(a+1)x+2a+4=0
ここで, x=1+iを解にもつから,
→x-1=i 両辺を2乗して整理すると
7 x²-2x+2=0
よって,
(x2-2x+2)(x+a+2)=0
ゆえに, ①の実数解はx=-α-2
(3) ①と②がただ1つの実数解を共有す
(0)=
るとき, それは, x=-α-2 だから,
②に代入して

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きらうる

3次方程式はx＝1+iを解に持ちます。
また、x=1+iが解ならば、共役な複素数であるx＝1-iも解になります。
つまり、x＝1+i、1-iが解になるような2次方程式は、x＝1+iを2乗することで得られることになります。

問題は「①の実数解をaで表せ」ということなので、問題の3次式をx=1+iを2乗することで得られた二次式で割ることで、3つ目の解を得ることができるのです。

いちご

わかりやすい解説ありがとうございます。理解できました。