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高中
已解決
【整数の性質】
nは平方数になるのですが、解説をみてもよく分かりません。教えてください🙇♀️
(2) 素因数分解を利用して、 正の約数の個数について考える。 以下において 自
然数nの正の約数の個数をd(n) と表す。
18の正の約数は 1, 2, 3, 6,918の6個で, d(18)=6である。 これは,
18 = 2 × 32 より 18の正の約数が素因数2と3を何個含むかを考えることで,
2×3=6個と求めることができる。
nが
ス
ス
のとき, d(n) は奇数となる。 また, d(n) が2でない素数となる
ET
ような400 以下の自然数nはセソ個ある。
の解答群
素数 ① 偶数
②奇数
③3 平方数
④ 立方数
kの値は,
k=才
である。
同様に,
30!= 1×2×3×4×5×6×7×8×9
4
= 226 x 3¹4 x 57 x 7¹ x 11² × 13² × 17
×10×11×・･･ ×30
より,
2と5" で 30! を割り切るような最大の自然数 e とm
の値は,
l= カキ 26 ,m=ｸ 7
これより,
よって,
30! を2進法で表すと, 末尾に0がケコ 26 個並ぶ。
30! を5進法で表すと, 末尾に0がサ 7 個並ぶ。
30! を10進法で表すと, 末尾に0がシ 7 個並ぶ。
Comment
[x] をxを超えない最大の整数とすると,次が成り立つ。
(n の素因数分解における素因数』の個数)
=26
×19×23×29
(30! の素因数分解における素因数2の個数)
30 30 「30
=[]+[9]+[99]+[3]+[3]+
=15+7+3+1+0+0+•••
30
32
(2) nが平方数のとき, d(n) は奇数となる。
(......
【理由】
nが平方数のとき, nの素因数分解は
EF
k=min 2の指数,3の指数
ケコ=l
サ=m
図=min{ℓ.m
ルジャンドルの公式という
途中から0が続く
n=p²|p²
と表せる(p1, P2,P3, ..., Pr は素数)
このとき
d(n) = (2a, +1) (2a₂+1)... (2a,+1)
より, d(n) は奇数である。
また, d(n)が2でない素数になるためには
n=p²-1
の形であればよい (p,q は素数で,g≧3)。
そのような400以下の自然数nは
2², 3², 5², 72, 11², 132, 172, 192, 2¹, 3¹, 26
のセン 11個。
□第5問
【図形の性質】
ねらい
方べきの定理を利用できるか
・メネラウスの定理, チェバの定理から線分の比を求める
ことができるか
二つの線分比を一つの式で表すことができるか
解説
B
D
△PBCにおいて, 三平方の定理より,
このとき
n = (pip²p²)²
となり. nは平方数である
逆に, d(n) が奇数のとき,
nは平方数になる
このとき
d(n) = q
∠BCD = 90° BC=8 (円の
直径)=8より 四角形 BCRP
は長方形となる。
よって,∠PBC=90°
29
解答
解答
前提として、素因数分解した時の(指数+1)をかけると正の約数の個数が求められます。
例)12=2^2+3^1
d(12)=(2+1)(1+1)=6
ここから本題
平方数nは何かしらの数字xを使うと
n=x^2
のように表すことができます。
xを素因数分解すると
x=p1^a1×p2^a2×.....pk^ak
となるので、nを素因数分解すると
n=x^2
=(p1^a1×p2^a2×.....pk^ak)^2
= p1^2a1×p2^2a2×.....pk^2ak
となります。ここで前提にあるように(指数+1)をかけると
d(n)=(2a1+1)(2a2+1)...(2ak+1)
となり、それぞれカッコの中身は奇数なので全て奇数同士の掛け算となるので、d(n)は奇数となります。
質問あればよろしくお願いします。
コメントありがとうございます！
個数は指数+1個だというのがポイントですね！
ご丁寧にありがとうございました！
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非常に分かりやすい例えで助かりました！