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例題 7
二項係数の性質
(1 + x)” の展開式を利用して,次の等式を証明せよ。
(1) nCo+nC₁+nC₂+ • • •+nCn−1+nCn = 2"
(2) nCo-nC1+nC2-‥‥+(-1)^-1nCn−1+(-1)*nCn=0x
思考プロセス
すなわち
逆向きに考える
(1), (②2)の式は,①のxにそれぞれ何を代入したものか?
RICO
$+B) <<noin
(1+x)" = "Co•1"+ "C1"-1.x + "C2・1月-2x2+ ... +nCn-1・1・x"-1+nCm・x"
...
»Co+nC1x+nC2x² + ··· +nCn-1x"−¹+nCnx” = (1+x)ª) ¨¨· D ·
Telpla
Action>> 二項係数の和は、(1+x)” の展開式を利用せよ
二項定理により
解 二項定理を用いて, (1+x)" を展開すると
(1+x)" = nCo+nCix+nCzx2+
SUNG
(1) ① に x=1 を代入すると
..+nCn-1xn-1+nCnxn
(1+1)" = nCo+nC1・1+nC2・1+
よって
(2) ① にx= -1 を代入すると
練習 7
1513
(1−1)″ = nCo+nC₁(−1)+nC₂(−1)² +
...
[
nCo+nC1+nC2+..+nCn-1+nCn = 2n
@ $6€ + $$•
・+nCn-1・17-1+nCn1n
nCo
Point.... 二項係数の性質
(a+b)" の展開式の係数に現れる "Cy を二項係数という｡
二項係数には,次のような性質がある。
よって
n Co-nC1+nC2-‥..+(-1)^-1nCn-1+(-1)"nCn=0
..+nCn-1(-1)n−1+nCn(-1)"
(1) nCr = nCn-r
(2) +1Cr+1=nCr+nCr+1
(3) nCo+nC₁+nC₂+ • • •+nCn−1+nCn = 2²
(4) nConC₁+nC₂ — • • • + (−1)n-¹ nCn-1 + (−1)" nCn = 0
(5)
C1+2C2+3mCs+..+(n-1)C1+nnCn=n2"-1
(80) = (
*(1-PSIT
INSIT
)
(1+x) の展開式の一般
項は Crx" である。
① はどのようなxの値に
ついても成り立つ。
5d² Jei
TEATRE C
(1+1)" = 2"
ISITIS
rが偶数のとき
(-1)' = 1
rが奇数のとき
(-1)'=-1
J
(1)
18-01S
(1+x)" の展開式を利用して,次の等式を証明せよ。
(1) C-2C1+2°C2-...+(-2)-1,C-1+(-2)"C=(−1)"
(2)
nCinC2
"C₁ + ² + (−1)n-1 ~Ce-1 + (−1) nCr
2
22
nCn−1
on-1²
(>7 (1))
例題7 (2)
(問題7 (2))
PR
(S)
1
