例題 137
三角比と内心 外心
鋭角三角形ABCの内部の点Pから3辺BC, CA, ABに下ろした垂線
の長さをそれぞれx,y,zとする。点Pが次の条件のとき、x:y:zの比
, A,B,Cのうち必要なものを用いて表せ。(必要でなければ用いなく
てもよい)
mi CA SAC
(1) P △ABC の内心
「考え方」
解答
(2)) PẢ
(1) 内接円の半径をrとすると, x=y=z=r
(2) 外接円の半径をRとすると, AP=BP=CP=R8A
(2) △ABCの外接円の半径をR,
辺BCの中点をMとする.
点Pは△ABCの外心だから,
△PBC は, PB=PC=R の
二等辺三角形で,
PM⊥BC
(1)
Pは△ABC の内心だから,x,y,zは A
内接円の半径である.
よって,
x:y:z=1:1:1
..1
∠BPM=∠CPM/......
②
oor
3 図形の計量
B
注>練習 137 については,点Aから辺BC (1)
に下ろした垂線の足をD, 外接円の半
径をRとして,次の等式を利用すると
よい.
14 16, 1
(1) x=AD=AB sinB C
AABC OHLD
-
同様にして, y=RcosB, z=RcosC
よって,
P²
･･2Rsin CsinB= -Rsin Bsin C
3
(2) x=BD･
cos C
= ABcos B. cos C
sin C
sin C
Pl
y
①より、 PM=x
また, ∠BPC=2Aだから,②より, ∠BPM=A
したがって,直角三角形 PBM で,
x=PM=PBcosA=Rcos A
Ace ne
.y.
CO
M C
P!
DOL
02-0A
x:y:z=Rcos A: Rcos B: Rcos CDAGA
=cos A: cos B:cos C
A
[XC
B MD
+08)!
P
内心,外心について
は p.520 参照
-=2Rsin Ccos B. Cos C
sin C
***
CH
(2)
したときに
∠BPC は, 弧 BC
に対する中心角
A
Pl
LIC
D
235
=2R cos B cos C
第3章
C
