Question

tori🐤

数学III、合成関数の問題です。
この問題が何度考えてもわかりません💦
解き方を教えていただきたいです🙏
よろしくお願いします🙇‍♀️

X
f(x)=2x+3,g(x)=x2 として, (fop)(x)=g(x), (qof(x)=g(x) が成り立つとき,
p(x), g(x) を求めよ。
arrit 9 (x)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きょん

(f○p)=g(x)
2p(x)+3=g(x)
g(x)は2次の関数なので、p(x)も2次でなければダメ。したがって
p(x)=ax^2+bx+cとおいて
2ax^2+2bx+2c+3=x^2
これが常に成り立つabcは
a=1/2,b=0,c=-3/2
よって、p(x)= 1/2x^2-3/2

次に、q(f)=x^2でf(x)がxの一次式なので、
qは2次の関数と予想できる。
q(x)=ax^2+bx+cとおいて

q(f)= a(2x+3)^2+b(2x+3)+c
= a(4x^2+12x+9)+b(2x+3)+c=x^2

これが常に成り立つには
4a=1
12a+2b=0
9a+3b+c=0

a=1/4,b=-3/2,c=9/4
こんな感じだと思います

tori🐤

教えていただきありがとうございました！！
理解できました！☺️

Answer 2

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑒

f◦p=g　より
g=2p+3=x²
∴p(x)=(1/2)x²-(3/2)
q◦f=g　より
q(x)=g◦f⁻¹
=(f⁻¹)²
={(1/2)x-(3/2)}²
＝(1/4)x²-(3/2)x+(9/4)

tori🐤

教えていただきありがとうございました！！
理解できました☺️！！