Question

らむ

(2)を積の微分を用いないで教えてください...

264 第7章 積分法とその応用
標問 117 積分方程式
次の関係式をみたす整式f(x) を求めよ.
(1) f(x)=1+((1-t)f(t)dt
(2) √₁²f(t)dt = xf(x)+x²+x0²³
未知の積分を含む等式を積分方程式
といいます.
○精講
積分方程式には、大まかに2つのタイプがあり,
その解法には一定の手順があります。
Sf(t)dt を含むもの
→ Sof(t)dt=k (定数) とおく.
Sf(t)dt を含むもの →xで微分する.
本問の(1),(2)がそれぞれのタイプに対応してい
ます. (1) の積分の両端が定数タイプのものは,関
数が未知だから, 直接 Sof(t)dt の値を求めるこ
とはできません. しかし, この値はなんらかの定
数となるので,それを適当な文字んでおきかえま
す。
これに対して, (2)の積分の両端のうち少なくと
も一方が変数のタイプは,微分して積分記号をは
ずすことを考えます. その際,
dif(t)dt = f(x)
を使うので,定数項に関する情報が消えます .
Sof(t)dt=0
などを利用して,これを補います.
(1) 与えられた等式は
〈解答
ƒ(x)=1+xſ^ƒ(t) dt—S'tƒ(t) dt
解法のプロセス
Sof(t)dt
(東北学院大 )
(学習院大)
分方程式
定数んとおく
(1) S(x-t)f(t) dt
=ax-b
La
↓
= xf²f(t) dt-Stf (t) at
する
(は積分記号の外に出す)
(2) F(x)=f(t) dt
[F'(x)=f(x)
(F(1)=0
2121-130
xを積分記号の外に出す
と変形できる.
Sof(t)dt=a, Sotf(t)dt=6 とおくと
f(x)=1+az-b=ax+(1-b)
である. これより
| a=S₁s (1)dt =[a+ ² + (1-6) ₁] = 2 +1
| b-Sir(t) at = a + (1-6). ] = +
+1-6
2
(a+26=2
l2a-96=-3
12
6
よって, f(x)=1/3x+- 13
(2) 両辺をxで微分して
12
13'
f(x)={f(x)+xf'(x)}+2x+3x2
.. xf'(x)+2x+3.²=0
(f'(x)+2+3x) = 0
任意のxに対してこの等式が成り立つことから
f'(x)=-3.x-2
与えられた式でx=1 とおくと
f(1)+2=0 ... f(1)=-2
ゆえに
(4)
3
:. f(x)=2x²-2x+C (CH)
3
2-2+C=-2
3
3
よって、f(x)=12/22-2x+1/2
b= 7
13
0531 265
2
演習問題
(117
(1) f(x)=2x+120'f(x)dz
(2) f(x)=x-2f\f(t)\dt
(3)_ƒ(x)=x³+x²+S²_₁₂(x− t)²ƒ (t) dt
積の微分 (数学ⅢI)
{f(r)g(x)}
=f'(r) g(x)+f(x) g' (x)
10
◆積分 Sff(t)dt を消すために,
m=1 とおく
次の関係式をみたす整式f(x), g(x) を求めよ.
f(x)=1+S*g(t)dt, g(x)=x(x−1)+Sª,f(t)}dt
岡山理大)
(秋田大)
(島根大)
(慶大)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

あつし

このタイプの問題は微分しないと解けないので、その方法しか考えられないと思います。

らむ

ありがとうございます。分かりました。
私は文系なので、この問題は捨てても良いと判断しても大丈夫でしょうか？

あつし

目指す文系レベルにもよりますが、東大や京大などの難関国公立大学や早慶の私立大学の一部の入試問題で積の微分を扱う問題があると聞いたことがあります。
ただ、文系学部の入試問題で積の微分を使わないといけない問題はほとんど出題されないと思います。（出題されても必ず誘導がつくと思います。）

なので、捨てるというよりはこういう問題があると頭の片隅に入れておいた方がいいでしょう。

余裕あるなら積、商の微分を覚えておいてもいいでしょう。実際の入試で使っても減点されることはほぼないです。
私は理系の人間なので完璧な解答はできませんが、言えることはこれくらいです。