高次方程式の解の判別
方程式x- (2k+1)x2 +(k+k+1)x-k=0 ･･･ ① の実数解がただ1つと
なるように、 定数kの値の範囲を定めよ。 ただし, 重解は1つと数える。
↑ としあえず実数がブ
方程式の解は, 3重解か, または実数解1つと異なる2つの虚数解である。
P(x)=x- (2k+1)x² +(k²+k+1)x-k とおく。
4P(k)=0 であるから, P(x)はxんを因数にもつ。
これより, 方程式 ① の左辺を因数分解すると (x − k){x² − (k+1)x+1} = 0
よって
x = k または x2 - (k +1)x+1 = 0
|____|___x² − (k + 1) x + 1 = 0
したがって, ① がただ1つの実数解をもつのは, 2次方程式
··· @ ₺³
定め (i) x =kを重解にもつ
(ii) 異なる2つの虚数解をもつ
のいずれかが成り立つときである。
(i) のとき, ② に x = k を代入すると
例題
12
考え方
|解
x²(k+1)x+1=02³
kを代入すると
201578
k-(k+1)k+1 = 0 k=1
このとき ② は x2-2x+1=0 となり, (x-1)2 =0 より x =1 を重解にもつ。
-3<k<1
(i) のとき, ② の判別式をDとすると, D = (k+1) - 4 < 0 より
(i), (ii) より -3<k ≦1
