Question

ひよ

問2です。
なぜ、2回微分を調べてから、さかのぼって証明しているのですか？？
この手の証明問題が凄く苦手です、、

2 TX
4 関数f(x)=1 + sin²
100 2
について、以下の問いに答えよ。
(1) f(x) (0≦x≦1) の最小値と最大値を求めよ。
(20x1において、 2x f(x) ≧√2となることを示せ。
(問3) 数列{an}を
=f'(f(x)}dx (n=1,2,3,
****000-110 AMTSmas
log (n+1)
an
で定める。 lima, の値を求めよ。 ただし, lim
n→∞
n48
n
R
2009
=0を用いてよい。

4 解答 f(x)=
(問1) 0≦x≦1のとき
このとき
ITX
0≦asin ≤1
2
TX
1≤1+ sin² ≤2
2
2
1+sin² 2
TX
2
(100 JAAJ
(()(8回)
783) 1220
TX π
OSTS 20
0≤
2 2
TO JEST)1 プロス
よって
1≤f(x) ≤√√2
ゆえに, f(x) の最大値はx=1のとき 2,最小値はx=0のとき1であ
る。
…(答)
1
(問2)
0≦x≦1のとき (1)よりf(x) ≧√2は成り立つ。 ......①
よって, f(x) ≧√2xを示す。
g(x)={f(x)}-(√2x)とおくと
8
0

74 2022年度
g(x)=(1+sin
g'(x)=2(sin-
312013
2 TX
2
TX
π
-2 (sin cos -
TX
2
2
- 2x²
= 〒sinπx4x
2
π²
8
0 << 1 より,
π
X
2-4x
26446
194) = cos.Ar-4 = (cos.xx-3)
業9"(x)=
COSTX-4=
COS TX
2
2
8
COS TTX = 2
π²
(2) Mo S
8
(cosxos]
***S
(1)
Os (m)
(0≤x≤π) x
g" (x)
g'(x)
したがって, ①, ② より √2x≤f(x) ≤√2
(3) (2)の結果
実の友熟光
土園
x
g'(x)
0
を満たすxは1つ存在し、そのxをαとす
ると,g'(x) の増減表は表1のようになる。
よって, g'(x)=0 (0<x<1) を満たすx
はただ1つ存在し, そのxの値をとすると
g(x)の増減表は表2のようになる。
ゆえに, 0≦x≦1のとき g(x) 2009(x) 1 7 01
{f(x)}² ≥(√2x)²
よって
0≦x≦1でf(x) ≧0,√2x≧0であるから、f(x) ≧√2x が成り立つ。
(表1)
0
...
0
+
a
+
(表2)
...
0 -
B
0
✓
...
(
-4
1
0
(0228-)
......
(エ)(証明終)
熊
(2)
lim lc
1110
した
(F

数3

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

＊Maika

g❜（x）のグラフの様子からg（x）の増減を調べるのですが、g❜（x）=0を解くことができない。そこでg❜❜（x）からg❜（x）の増減を調べるということです

ひよ

g'(x)=0が解ける場合なら2回微分を調べる必要はないということですか？？

＊Maika

その解釈で大丈夫だと思います

ひよ

ありがとうございました！！