Question

Mayuka

大問6(4)についての質問です。
模範回答(右の写真)に「円Oが三角形ABDの外接円となるには点Dは円O，円Cの共有点でなければならない」と書いてあるのですが、なぜ共有点でなければならないのかわかりません。図Ⅰが明らかに違うことはわかりますが、図Ⅲではなぜだめなのか教えて欲しいです🙇‍♂️

【6】 直線上に3点A.B.C がこの順にあり。 AB 2. BC=4 とする。
点Cを通る半直線上にCD=3を満たす点Dをとり, AABD の外接円と
半直線 CD の交点のうち,Dでない方の点をEとする.
(1) は結果のみを記入せよ。 (2)~(4)は結果のみではなく、考え方の筋道
も記せ。
(1)
(i) DE の長さを求めよ、
(ii) BD: AE を求めよ。
(mm) BD の長さのとり得る値の範囲
を求めよ.
(2) 直線EA と直線DBの交点をF
とし、BDの長さを1とするとき
AF. BF の長さをそれぞれの式で
表せ.
(3) 直線EBとCFの交点をMとす
るとき, FM: MCを求めよ.
(4) △ABD の外接円の半径の最小値
を求めよ。
2
A
E
F
E
B
B
M
D.
D
3

(4) CD=3よりDはCを中心とする半径3の円周上にある。
2点A,Bを通る半径rの円 0 を図I.ⅡI. ⅢIのように描く, 円0が△ABD
の外接円となるには、点Dは円 0円Cの共有点でなければならないので、
点Dが存在しかつ が最小になる条件は、円OとCが外接すること (図
ⅡIのとき) である.
(点Dがとれない)
A B
H
C
E, -5.
である.
2r=5
つまり、求める最小値は.
5
7=²
r = 2
A B
H
D
-3
A
B
図 I
図Ⅱ
図Ⅲ
このとき、 接点Dは2円の中心を結ぶ直線上にあるのでDEは円 0 の直径
となる. (1Xi) より DE=5であるから,
D
(答)

Answer 1

35P🌸

点Dは、円Oの周上に存在し、円Cの周上に存在するため、2円の共有点と一致します。
図Ⅰは、点Dを取ることができないため除外します。
よって、図Ⅱまたは図Ⅲが正しいと分かります。
この問題では、円Oの半径rの最小値を考えるので、円Oは可能な限り小さいほうが良いです。「円Oができるだけ小さい」かつ「円Oと円Cの共有点が存在する」の2条件を満たす状態は、図Ⅱであることが分かります。
よって、図Ⅲは除外され、正しいのは図Ⅱと分かります。
不明点があれば、気軽に質問してください。