✨ 最佳解答 ✨
この問題のような二次方程式の解の存在範囲を求める問題では、以下の3つを考えます
①判別式D
②放物線の軸
③f(m), f(n)
これをまず念頭に置いて、一般的な解説をしていきます。
この手の問題は、放物線の位置関係の条件に帰着させて考えます。
f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)とし、二次方程式f(x)=0の判別式をDとします。また、m, nをm<nを満たす実数とします。
(i)f(x)=0がm<x<nの範囲で異なる2つ解をもつ
→放物線がm<x<nの範囲でx軸と異なる2つの共有点をもつ
①D>0
②m<軸<n
③a>0のときf(m)>0, f(n)>0
a<0のときf(m)<0, f(n)<0
(ii)f(x)=0がx<m, m<xの範囲でそれぞれ1つずつ解をもつ
→放物線がx<m, m<xの範囲でx軸と共有点をそれぞれ1つずつもつ
③a>0のときf(m)<0, a<0のときf(m)>0
(iii)f(x)=0がm<x<nの範囲で1つの解をもつ
→放物線がm<x<nの範囲でx軸と共有点を1つもつ
③f(m)f(n)<0
なぜこのようになるかは、実際に自分で放物線をかいてみていただくとわかるかと思います。どの条件が欠けても題意を満たす放物線にならないはずです。
(ii)と(iii)は③だけで題意を満たすので計算が比較的楽です。
これを知っていれば、この手の問題はほとんど対応できるようになるはずです。
今回の問題で考えます。
この問題ではa>0です
(1)異なる2つの正の解をいいかえると「x>0の範囲に異なる2つの実数解」となるので、上記の(i)でm=0のときを考えればいいです(nは今回考えない)。すると、
①D>0
②軸>0
③f(0)>0
(判別式と軸の方程式は別途計算してください)
これらを全て満たすkの値の範囲が答えです。
(2)(1)と同じように考えると(i)でn=0のときです。
(3)(ii)でm=0のときです。
これで全て解けます。
最後に補足です。
その1、なぜこのように文字を使って一般的な話をしたかですが、例えば少し難しい問題になると1<x<2の範囲に〜……と出題されることがあります。解き方は基本同じです。このような難しい問題にも応用できるのでこの覚え方はおすすめです。
細かく説明してくれてありがとうございます！
ひとつひとつ確認しながら問題解いてみますね！
その2、xの範囲を表す不等式に等号が含まれている(≦、≧)ときは、③の条件のみに対応する不等号に等号をつけます。
その3、これは完全な余談ですが、例えば記述式の試験でこのような問題が出たとき、(1)、(2)、(3)でDや軸、f(0)をいちいち求めなければなりませんよね？
こういうときは、解答用紙にいきなり(1)とかくのではなく、先に必要な計算(D、軸など)をしたあとに(1)から解き始めると、すごくスマートな解答になってこれもオススメです！
長くなってしまいましたが分かりづらかったらごめんなさい💦