Question

ななせ

数2の二項定理です。その前のパスカルの定理はわかったのですが、
二項定理の説明が全くわかりませんでした、、、
説明がわからないので、例や問題も全くわかりません、、💦💦

量が多いのですが解説してくださると嬉しいです！！

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二項定理
(a+b)^ の展開式における abの係数は、パスカルの三角形から4であっ
た。この係数は,組合せの考え方を利用して求めることもできる。
(a+b)^
すなわち
(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
1節多項式の乗法・除法と分数式
1
3
を展開して得られる項は, 4個の因数 ①,②,
③ ④ のそれぞれから, aかのどちらかを
取り出して掛け合わせた積である。
例えば, 'b の項は、4個の因数のうち1個
の因数を選んで6を取り出し、残り3個の因数
からαを取り出して掛け合わせることにより得
られる。
すなわち, 4個の因数から1個の因数を選ぶ選び方の数だけ αb の項が
できる。 したがって, dbの項は 4C1 = 4 (個) 現れるから, dbの係数
はCである。
同様に考えると, (a+b)^ の展開式におけるすべての項
a¹, a³b, a²b², ab³, 64
の係数はそれぞれ
(4)
axaxax b = a³b
(a+b)" の展開式における項は,一般に
1
4 Co, 41,42, AC3, 4 CA
である。一般に,次の二項定理が成り立つ。
二項定理
(a+b)" = nCoa"+nCra"-16+nCza"-262+・・・
2
axaxbxa = a³b
axbxaxa = a³b
bxaxaxa = a³b
+nCra"rb"+..+nCn1ab-1+nCnb"
Cra"-"b" (r = 0, 1, 2, ..., n)
と表される。これを (a+b)" の展開式の一般項という。 ただし,やが
は1と定める。 また, C, を二項係数ともいう。
9
1章
草
方程式・式と証明
A

210
例5
問9
二項定理を用いて式を展開すると,次のようになる。
(1) (2a+b)5 = 5Co (2a)5+5C₁ (2a)¹b¹ +5℃₂ (2a)³b²
問 10
+5C3 (24)263+5C1 (24) 64 +5C560
= 32a5 +80a¹b+80a³b² +40a²b³+10ab¹ + f²
(2)(x-5y) = Coxo+3C1x2(-5y)'+3C2x^(-5y)2+3C3 (-5y)
=x-15x2y+75xy2-125y3
二項定理を用いて,次の式を展開せよ。
(1) (3a+b)¹
(2) (2x-3y)¹
また、パスカルの三角形のつくり方から,
nCr=n-1 Cr-1+1 Cy が成り立つことが
分かる。
解 (2x2-1) の展開式における一般項は
(3) (2x²+1)5
ARROA
n-1
n
二項定理の応用
より複雑な式の展開に二項定理を応用することを考えてみよう。
例題
1 (2x2-1) の展開式におけるxの係数を求めよ。
8C528-5 (− 1)5 = 56 • 8 • (− 1)
== - 448
n-1Cr-1 n-1 Cr
8C, (2x²)8—¹ (− 1)" = 8Cr28-¹(x²)8—” (− 1)″
=gCr28-1x208-r) (-1)^
n Cr
2r
= gC728-1(-1)'x16-27
ここで,16-2r = 6 となるのは,r=5のときであるから,
の係数は
二項定理 [1]
次の式を展開したとき,それぞれ指定された項の係数を求めよ。
(1) (3x+2) における x2
(2)(x^2-3y) における xky3
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10
15
20

~ 565
5y) 3
1]
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15
20
25
5
10
15
20
例題
2
方針
解
問 11
応用
(x+y+z) の展開式におけるxy'zの係数を求めよ。
1節多項式の乗法・除法と分数式
二項定理を用いるために, x+y+zという3つの項の式を2つの項
の式と見なすことはできないか。
{(x+y)+z} の展開式の一般項は
6C,(x+y)-*z
zの次数に着目すると, x'y'z が現れるのはr=1のときだけで
二項定理 [2]
6C₁ (x+y)³z
(x+y) を展開したときのxy3の係数は 5 C3 であるから,
xyzの係数は
16C1 X 5C3 = 60
(x+2y+3z) の展開式におけるxy'z およびxy2の係数を求めよ。
また、例題2のxy'zの項は, 6個の因数
(x+y+z)(x+y+z) (x+y+z)(x+y+z) (x+y+z) (x+y+z)
6
6C₂×4C3×₁C₁ = ×
一般に,次の定理が成り立つ。
(a+b+c)" の展開
①
2
3
から2個の因数を選んでxを取り出し, 残り4個の因数から3個の因数を
選んで」を取り出し, 最後に残った1個の因数からを取り出して掛け合
わせることによっても得られる。
したがって,xy'zの係数は,次のように表される。
6! 4!
2!4! 3!1!
6!
2!3!1!
x1=
(a+b+c)" の展開式の一般項は
n!
P!g!! a bicr ただし, p+g+r=n
11
Man
1章
方程式・式と証明

二項定理 パスカルの定理 数2 一般項 二項係数

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ベン

これで少しは分かりますかね？

二項定理はみーーーんなが苦手と言ってもいいくらい苦手意識持つ人が多いのでチャートなども活用して演習してみましょう！

ななせ

すごくわかりやすかったです！ありがとうございます😭

ひとつ質問なんですが、rがわかっているなら2xの2乗をそのまま計算するけど（赤で書いたように）、今回のようにrがわかってなければ3xの2乗を3とxの2乗に分けて計算するっていう考え方は合っていますか？

わかりにくい文ですみません🙇‍♀️

ベン

rが分かってればもちろんななせさんのおっしゃる通りで大丈夫ですよ。（もっと具体的な問題があればより適切なアドバイスできると思いますが🙏）

二項定理の問題はチャートなどでもたくさん演習できると思うのでそこで疑問が出たらまた聞いて下されば😄

一応再解説つけときますね（問題を見た時にどう頭の中で考えるかというのを再現してみました）

ベン

以上です！

ななせ

理解できました！
ありがとうございます！！