重要 例
104 放物線と円の共有点・接点
|放物線y=x2+αと円x2+y2=9 について,次のものを求めよ。 内
(1) この放物線と円が接するとき,定数aの値
(2) 異なる4個の交点をもつような定数αの値の範囲
指針 放物線と円の共有点についても、これまで学習した方針
共有点 実数解 接点重解
解答
で考えればよい。
この問題では,xを消去して,yの2次方程式 (y-a)+y²=9の
実数解, 重解を考える。 放物線の頂点はy軸上にあることにも
注意｡
(1) 放物線と円が接するとは,円と放物線が共通の接線をも
つことである。この問題では、 右の図のように, 2点で接する
場合と1点で接する場合がある。
(2) 放物線を上下に動かし, (1) の結果も利用して条件を満たす
aの値の範囲を見極める。
(1) y=x2+αから
x2=y-a
これを x2+y2=9 に代入して
よって
y2+y-a-9=0
ここで, x2+y2=9から
[1] 放物線と円が2点 [1]
で接する場合
2次方程式 ① は ② の
範囲にある重解をもつ。 -3
よって, ① の判別式を
Dとすると D=0
D=12-4・1・(-a-9)
=4a+37
x=-20
37
4
(y-a)+y²=9
以上から、求めるαの値は
(2) 放物線
a=
1
2
3
0
-3
13
_37
4
a=-
x
37
4a+370 すなわち α = -
4
[2]
であるから
このとき, ① の解はy=-
[2] 放物線と円が1点で接する場合
図から,点 (0, 3),(0, -3) で接する場合で a=±3
37
±3
4'
-3
となり,②を満たす。
3
00000
5098
ゆえに3≦y≦3
a=-3
yA
3
0
基本的
1点で
接する
2点で接する
100) &
x を消去すると,yの2
次方程式が導かれる。
......
a=3
3→
-3 03
-3
2次方程式
by2+qy+r=0の
g
重解はy=2p
頂点のy座標に注目
271
別
参考
10
の
g
(
